Determine os valores de
e
para os quais as seguintes integrais impróprias convergem:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pede para a gente encontrar os valores de
e
que fazem a integral imprópria
convergir, ou seja, resultar em um valor finito. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e analisar o comportamento da função dentro da integral nos dois extremos: perto de 0 e no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece quando
se aproxima de 0. Nesse caso, o termo
no denominador
fica bem pequeno, então a fração fica aproximadamente
Sabemos que a integral de
de 0 até algum ponto converge se
. Aplicando isso aqui, para que a integral convirja perto de 0, precisamos que
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
vai para o infinito. Nesse cenário, o termo
domina o denominador, então a fração se aproxima de
A gente sabe que a integral de
no infinito converge se
. Aplicando isso aqui, para que a integral convirja quando
vai para o infinito, precisamos que
Resposta
Para a integral imprópria
convergir, os valores de
e
devem satisfazer: