Determine os valores de p e q para os quais as seguintes integrais impróprias convergem:
(a) integral0^infty x^p-11+q x d x

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. A questão pede para a gente encontrar os valores de integral0^infty x^p-11+q x , dx e que fazem a integral imprópria
convergir, ou seja, resultar em um valor finito. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo e analisar o comportamento da função dentro da integral nos dois extremos: perto de 0 e no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece quando x^p-11 = x^p-1 se aproxima de 0. Nesse caso, o termo p - 1 > -1 Rightarrow p > 0 no denominador fica bem pequeno, então a fração fica aproximadamente
Sabemos que a integral de de 0 até algum ponto converge se . Aplicando isso aqui, para que a integral convirja perto de 0, precisamos que

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando x^p-1qx = 1q x^p-2 vai para o infinito. Nesse cenário, o termo p - 2 < -1 Rightarrow p < 1 domina o denominador, então a fração se aproxima de
A gente sabe que a integral de no infinito converge se . Aplicando isso aqui, para que a integral convirja quando vai para o infinito, precisamos que

Resposta

Para a integral imprópria
integral0^infty x^p-11+q x , dx
convergir, os valores de 0 < p < 1 e q > 0 e devem satisfazer:

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