Dê um exemplo de uma função
tal que a integral imprópria
converge, mas
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar uma função
tal que a integral imprópria
converge, mas o limite
não existe. Vamos usar conceitos de cálculo integral e limites para chegar nessa função.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma integral imprópria
convergir. Isso quer dizer que, ao calcular a área sob a curva de
de
até o infinito, esse valor se aproxima de um número finito.
Passo 3
Agora, para o limite
não existir, a função
não pode se aproximar de um único valor quando
vai para o infinito. Ou seja, a função deve oscilar sem se estabilizar em um ponto específico.
Passo 4
Uma função que atende a esses critérios é
. Vamos ver por quê:
-
Integral Convergente: Vamos calcular
. Fazendo a substituição , temos . A integral se transforma em , que é uma integral conhecida e converge para um valor finito. -
Limite Não Existente: Agora, olhemos para
. Conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que continue oscilando entre -1 e 1. Como está no denominador, a amplitude das oscilações diminui, mas o limite de ainda é 0. No entanto, por si só não tem limite, então não tem um limite definido quando tende ao infinito, já que oscila infinitamente sem se estabilizar.
Resposta
Um exemplo de função que satisfaz as condições é
. Assim, a integral
converge, mas
não existe.