Seja
e suponha que
para todo
. Prove que
quase sempre em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que está no conjunto das funções Riemann-integráveis no intervalo
. A condição dada é que a integral de
de
até qualquer ponto
dentro de
é igual a zero. Nosso objetivo é provar que
quase sempre em
, ou seja,
é igual a zero em quase todos os pontos desse intervalo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo integral, especialmente o Teorema Fundamental do Cálculo e o conceito de “quase sempre” que está relacionado com medidas em análise real.
Passo 2
Vamos começar analisando a condição dada:
Isso significa que, não importa qual ponto
escolhemos entre
e
, a área sob a curva de
entre
e
é sempre zero.
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
é contínua em
, então a função
é derivável em
e sua derivada é
.
Apesar de
não precisar ser contínua para o teorema, ele é Riemann-integrável, o que nos permite usar uma versão mais geral do teorema.
Passo 4
Como
para todo
, sua derivada também deve ser zero em quase todo ponto desse intervalo. Ou seja:
A expressão “quase em todo” significa que a função
pode ser diferente de zero apenas em um conjunto de pontos com medida zero, ou seja, um conjunto “muito pequeno” em termos de comprimento no intervalo.
Passo 5
Portanto, concluímos que
quase sempre em
. Isso significa que, exceto possivelmente em um conjunto de pontos muito pequeno (medida zero), a função
é igual a zero em todo o intervalo.