Seja uma função decrescente. Prove que:
(a) Se a série converge para , então .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função |sumn=1^m f(n) - L| < integralm^infty f(x) , dx que é decrescente no intervalo e assume valores não negativos. A gente quer provar que, se a série infinita converge para um valor , então a diferença entre a soma parcial até termos e é menor que a integral de de a infinito. Ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que relaciona séries e integrais para funções decrescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a série converger para . Isso quer dizer que, conforme somamos mais e mais termos dessa série (até o infinito), a soma se aproxima do valor .
Passo 3
Agora, vamos pensar na soma parcial . Esta soma inclui os primeiros termos da série. A diferença entre essa soma e é a “cauda” da série, ou seja, os termos que faltam após o -ésimo termo.
Passo 4
Como é uma função decrescente, sabemos que cada termo é maior ou igual ao próximo, . Isso nos permite comparar a soma da cauda da série com a integral de .
Passo 5
Vamos considerar a integral f(n) <= integraln-1^n f(x) , dx . Como sumn=m+1^infty f(n) <= integralm^infty f(x) , dx é decrescente, para cada :
Somando isso para todos os a partir de , obtemos:
Passo 6
A soma L - sumn=1^m f(n) <= integralm^infty f(x) , dx é exatamente a diferença | sumn=1^m f(n) - L | < integralm^infty f(x) , dx . Portanto, temos:
Como todos os termos são positivos, a diferença em módulo é menor que a integral: