Determine os valores de x in R para os quais as séries convergem. sumn=2^infty(-1)^n+1 1n^ln x

Passo 1

Beleza, então a gente tem aqui uma série infinita que começa no n = 2 e vai até o infinito:
sumn=2^infty (-1)^n+1 1n^ln x
O que a gente precisa descobrir são os valores de nos quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p. Vamos analisar passo a passo para entender direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série. Ela é uma série alternada porque tem o termo an = 1n^ln x , que faz os sinais dos termos trocarem entre positivo e negativo conforme aumenta. Além disso, o termo geral da série é:
Aqui, é o logaritmo natural de , e ele está no expoente de .

Passo 3

Antes de mais nada, precisamos garantir que x > 0 esteja definido. O logaritmo natural só existe para . Portanto, começamos com a condição:
Agora, para que a série alternada converja, ela precisa atender ao Teste da Série Alternada, que diz que se os termos forem positivos, decrescentes e tendendo a zero, então a série converge.

Passo 4

Vamos verificar se os termos limn to infty 1n^ln x = 0 são positivos, decrescentes e tendem a zero.
  1. Positivos: para e , logo .
  2. Decrescentes: A função aumenta se (ou seja, se ) e diminui se (ou seja, se ). Portanto, é decrescente se ou .
  3. Tendem a zero: Precisamos que:
Para que isso aconteça, deve crescer sem limites, ou seja, ( ). Se ( ), o limite não será zero.

Passo 5

Com base no Teste da Série Alternada, a série converge se:
  1. (para garantir que e os termos tendem a zero),
  2. Os termos são positivos e decrescentes.

Passo 6

Além da convergência condicional garantida pelo Teste da Série Alternada, vamos verificar se a série converge absolutamente, ou seja, se a série dos valores absolutos converge:
sumn=2^infty | (-1)^n+1 1n^ln x | = sumn=2^infty 1n^ln x
Essa é uma série p, que converge se ln x > 1 Rightarrow x > e . Aqui, , então queremos:
Então, a série converge absolutamente se e converge condicionalmente se .

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que . Além disso, ela converge absolutamente se e converge condicionalmente quando .

Exercícios relacionados