Determine os valores de para os quais as séries convergem.
Passo 1
Beleza, então a gente tem aqui uma série infinita que começa no n = 2 e vai até o infinito:
O que a gente precisa descobrir são os valores de nos quais essa série converge. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre séries alternadas e testes de convergência, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p. Vamos analisar passo a passo para entender direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série. Ela é uma série alternada porque tem o termo , que faz os sinais dos termos trocarem entre positivo e negativo conforme aumenta. Além disso, o termo geral da série é:
Aqui, é o logaritmo natural de , e ele está no expoente de .
Passo 3
Antes de mais nada, precisamos garantir que esteja definido. O logaritmo natural só existe para . Portanto, começamos com a condição:
Agora, para que a série alternada converja, ela precisa atender ao Teste da Série Alternada, que diz que se os termos forem positivos, decrescentes e tendendo a zero, então a série converge.
Passo 4
Vamos verificar se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero.
Positivos: para e , logo .
Decrescentes: A função aumenta se (ou seja, se ) e diminui se (ou seja, se ). Portanto, é decrescente se ou .
Tendem a zero: Precisamos que:
Para que isso aconteça, deve crescer sem limites, ou seja, (). Se (), o limite não será zero.
Passo 5
Com base no Teste da Série Alternada, a série converge se:
(para garantir que e os termos tendem a zero),
Os termos são positivos e decrescentes.
Passo 6
Além da convergência condicional garantida pelo Teste da Série Alternada, vamos verificar se a série converge absolutamente, ou seja, se a série dos valores absolutos converge:
Essa é uma série p, que converge se ln x > 1 Rightarrow x > e . Aqui, , então queremos:
Então, a série converge absolutamente se e converge condicionalmente se .
Resposta
A série converge para todos os valores de tais que . Além disso, ela converge absolutamente se e converge condicionalmente quando .