Determine os valores de para os quais as séries convergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para descobrir quais valores de nos números reais fazem com que a série convirja. Isso envolve entender séries geométricas e saber quando elas somam a um valor finito. Vamos precisar lembrar das condições de convergência para séries geométricas e aplicar isso a cada parte da nossa série.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar a análise:
Cada uma dessas séries é uma série geométrica. Uma série geométrica da forma converge se e somente se . Vamos aplicar essa regra a cada uma das nossas séries.
Passo 3
Vamos analisar a primeira série: .
Aqui, o termo geral é , que é uma série geométrica com razão . Para essa série convergir, precisamos que:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda série: .
Podemos reescrever o termo geral dessa série como:
Aqui, a razão da série geométrica é . Para que essa série convirja, precisamos que:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, juntando as duas condições que encontramos:
12 < |x| < 1 para a primeira série.
para a segunda série.
Para que a série original convirja, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Isso significa que deve ser um número real tal que:
Resposta
Os valores de x in (-1, -12) cup (12, 1) que fazem a série convergir são todos os números reais que satisfazem . Ou seja,