Determine os valores de x in R para os quais as séries convergem. sumn=1^infty(x^n+12^n x^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para descobrir quais valores de nos números reais fazem com que a série convirja. Isso envolve entender séries geométricas e saber quando elas somam a um valor finito. Vamos precisar lembrar das condições de convergência para séries geométricas e aplicar isso a cada parte da nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^infty x^n e sumn=1^infty 12^n x^n
Cada uma dessas séries é uma série geométrica. Uma série geométrica da forma converge se e somente se . Vamos aplicar essa regra a cada uma das nossas séries.

Passo 3

Vamos analisar a primeira série: |x| < 1 .
Aqui, o termo geral é , que é uma série geométrica com razão . Para essa série convergir, precisamos que:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda série: 12^n x^n = (12x)^n .
Podemos reescrever o termo geral dessa série como:
|12x| < 1
Aqui, a razão da série geométrica é |2x| > 1 Rightarrow |x| > 12 . Para que essa série convirja, precisamos que:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
  1. 12 < |x| < 1 para a primeira série.
  2. para a segunda série.
Para que a série original convirja, ambas as condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Isso significa que deve ser um número real tal que:

Resposta

Os valores de x in (-1, -12) cup (12, 1) que fazem a série convergir são todos os números reais que satisfazem . Ou seja,

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