Determine valores de k in R para que o sistema cuja matriz aumentada é
A=[rrrr 1 & -2 & k & -1 2 & -2 & 3+2 k & 2 4 & -10 & k^2 & k-9 0 & 2 & 3 & 2 k ]
tenha:
(a) solução única;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de que fazem com que o sistema representado pela matriz aumentada tenha solução única. A gente vai usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar verificar quando a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. A matriz aumentada A = 1 & -2 & k & -1 2 & -2 & 3+2k & 2 4 & -10 & k^2 & k-9 0 & 2 & 3 & 2k é:
C = 1 & -2 & k 2 & -2 & 3+2k 4 & -10 & k^2 0 & 2 & 3
A matriz dos coeficientes é a parte sem a última coluna:

Passo 3

Para um sistema ter solução única, a matriz dos coeficientes precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Porém, como a matriz C' = 1 & -2 & k 2 & -2 & 3+2k 4 & -10 & k^2 é (mais linhas que colunas), vamos verificar se as três primeiras colunas são linearmente independentes. Isso significa que o determinante de qualquer submatriz que formamos a partir de deve ser diferente de zero.
Vamos escolher as três primeiras linhas para formar uma submatriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de det(C') = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz det(C') = 1 cdot [(-2)(k^2) - (3+2k)(-10)] - (-2) cdot [2(k^2) - (3+2k)(4)] + k cdot [2(-10) - (-2)(4)] é dado por:
Aplicando isso em :

Passo 5

Vamos calcular cada parte passo a passo:
  1. Primeiro termo:
    1 cdot [(-2)k^2 - (3+2k)(-10)] = 1 cdot [-2k^2 + 30 + 20k] = -2k^2 + 30 + 20k
  2. Segundo termo:
    -(-2) cdot [2k^2 - (3+2k)4] = 2 cdot [2k^2 - 12 - 8k] = 4k^2 - 24 - 16k
  3. Terceiro termo:
    k cdot [2(-10) - (-2)(4)] = k cdot [-20 + 8] = k cdot (-12) = -12k

Passo 6

Agora, somamos todos os termos calculados:
-2k^2 + 30 + 20k + 4k^2 - 24 - 16k - 12k
Vamos simplificar:
  • Termos quadráticos:
    -2k^2 + 4k^2 = 2k^2
  • Termos lineares:
    20k - 16k - 12k = -8k
  • Termos constantes:
    30 - 24 = 6
Então, o determinante fica:
2k^2 - 8k + 6

Passo 7

Para que o sistema tenha solução única, precisamos que 2k^2 - 8k + 6 neq 0 . Então, vamos resolver a inequação:
2k^2 - 8k + 6 = 0
Primeiro, resolvemos a equação quadrática:
k^2 - 4k + 3 = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática (k - 1)(k - 3) = 0 , podemos fatorar:
k = 1 ou k = 3
Então, as soluções são:

Passo 9

A inequação significa que não pode ser igual a 1 ou 3. Portanto, para que o sistema tenha solução única, deve ser qualquer número real diferente de 1 e 3.

Resposta

Os valores de que garantem uma solução única para o sistema são todos os números reais diferentes de 1 e 3, ou seja, e .

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