Determine valores de para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
(a) solução única;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de que fazem com que o sistema representado pela matriz aumentada tenha solução única. A gente vai usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar verificar quando a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. A matriz aumentada é:
A matriz dos coeficientes é a parte sem a última coluna:

Passo 3

Para um sistema ter solução única, a matriz dos coeficientes precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Porém, como a matriz é (mais linhas que colunas), vamos verificar se as três primeiras colunas são linearmente independentes. Isso significa que o determinante de qualquer submatriz que formamos a partir de deve ser diferente de zero.
Vamos escolher as três primeiras linhas para formar uma submatriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso em :

Passo 5

Vamos calcular cada parte passo a passo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:

Passo 6

Agora, somamos todos os termos calculados:
Vamos simplificar:
  • Termos quadráticos:
  • Termos lineares:
  • Termos constantes:
Então, o determinante fica:

Passo 7

Para que o sistema tenha solução única, precisamos que . Então, vamos resolver a inequação:
Primeiro, resolvemos a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática , podemos fatorar:
Então, as soluções são:

Passo 9

A inequação significa que não pode ser igual a 1 ou 3. Portanto, para que o sistema tenha solução única, deve ser qualquer número real diferente de 1 e 3.

Resposta

Os valores de que garantem uma solução única para o sistema são todos os números reais diferentes de 1 e 3, ou seja, e .

Exercícios relacionados

(a) é um espaço vetorial que tem um vetor nalo-nulo, quantos vetores tem ?
(b) Descreva todos os espaços vetoriais que têm um nümero finito de vetores.
Nos Exercicios de 11 a 17, determine se o conjunto dado juntamente com as operaçōes dadas é um espaço vetorial. Se näo for, relacione as propriedades da Definição I que näo são validas.
Determine valores de para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
© nenhuma solução.
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
Todas as combinações lineares dos vetores e .