Determine valores de para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
(a) solução única;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de que fazem com que o sistema representado pela matriz aumentada tenha solução única. A gente vai usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar verificar quando a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. A matriz aumentada A = 1 & -2 & k & -1 2 & -2 & 3+2k & 2 4 & -10 & k^2 & k-9 0 & 2 & 3 & 2k é:
A matriz dos coeficientes é a parte sem a última coluna:
Passo 3
Para um sistema ter solução única, a matriz dos coeficientes precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Porém, como a matriz C' = 1 & -2 & k 2 & -2 & 3+2k 4 & -10 & k^2 é (mais linhas que colunas), vamos verificar se as três primeiras colunas são linearmente independentes. Isso significa que o determinante de qualquer submatriz que formamos a partir de deve ser diferente de zero.
Vamos escolher as três primeiras linhas para formar uma submatriz :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de det(C') = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz det(C') = 1 cdot [(-2)(k^2) - (3+2k)(-10)] - (-2) cdot [2(k^2) - (3+2k)(4)] + k cdot [2(-10) - (-2)(4)] é dado por:
A inequação significa que não pode ser igual a 1 ou 3. Portanto, para que o sistema tenha solução única, deve ser qualquer número real diferente de 1 e 3.
Resposta
Os valores de que garantem uma solução única para o sistema são todos os números reais diferentes de 1 e 3, ou seja, e .