Determine valores de para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
(a) solução única;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de que fazem com que o sistema representado pela matriz aumentada tenha solução única. A gente vai usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e determinantes. Para resolver isso, vamos precisar verificar quando a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. A matriz aumentada é:
A matriz dos coeficientes é a parte sem a última coluna:
Passo 3
Para um sistema ter solução única, a matriz dos coeficientes precisa ser não singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Porém, como a matriz é (mais linhas que colunas), vamos verificar se as três primeiras colunas são linearmente independentes. Isso significa que o determinante de qualquer submatriz que formamos a partir de deve ser diferente de zero.
Vamos escolher as três primeiras linhas para formar uma submatriz :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso em :
Passo 5
Vamos calcular cada parte passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 6
Agora, somamos todos os termos calculados:
Vamos simplificar:
Termos quadráticos:
Termos lineares:
Termos constantes:
Então, o determinante fica:
Passo 7
Para que o sistema tenha solução única, precisamos que . Então, vamos resolver a inequação:
Primeiro, resolvemos a equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática , podemos fatorar:
Então, as soluções são:
Passo 9
A inequação significa que não pode ser igual a 1 ou 3. Portanto, para que o sistema tenha solução única, deve ser qualquer número real diferente de 1 e 3.
Resposta
Os valores de que garantem uma solução única para o sistema são todos os números reais diferentes de 1 e 3, ou seja, e .