(a) é um espaço vetorial que tem um vetor nalo-nulo, quantos vetores tem ?
(b) Descreva todos os espaços vetoriais que têm um nümero finito de vetores.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que cada parte da questão está pedindo. Na parte (a), temos um espaço vetorial que contém um vetor não-nulo e queremos descobrir quantos vetores existem nesse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de vetores que podem ser somados entre si e multiplicados por escalares (números reais, por exemplo), seguindo certas regras. Um vetor nulo é um vetor especial que, quando somado a qualquer outro vetor no espaço, não muda esse vetor. Ele é representado por .

Passo 3

A questão diz que tem um vetor não-nulo. Isso significa que além do vetor nulo , existe pelo menos outro vetor diferente de em . Agora, vamos lembrar que em um espaço vetorial, se existe um vetor não-nulo, é possível gerar infinitos vetores diferentes ao multiplicá-lo por diferentes escalares.

Passo 4

Por exemplo, se é um vetor não-nulo em , então para qualquer número real , o vetor também pertence a . Como podemos escolher infinitos valores diferentes para , teremos infinitos vetores diferentes em .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b) da questão. Queremos descrever todos os espaços vetoriais que têm um número finito de vetores. Para isso, precisamos entender quais estruturas de espaço vetorial possuem somente uma quantidade limitada de vetores.

Passo 6

Consideremos que um espaço vetorial sempre contém o vetor nulo . Se o espaço tiver apenas mais um vetor além do nulo, digamos , então ao multiplicar por um escalar , temos . Para que o espaço tenha apenas um número finito de vetores, deve haver apenas um número finito de escolhas para .

Passo 7

Mas, nos números reais, podemos escolher infinitos valores para , o que resultaria em infinitos vetores . Portanto, a única maneira de o espaço vetorial ter um número finito de vetores é se não houver nenhum vetor não-nulo além do vetor nulo.

Passo 8

Isso significa que o espaço vetorial só contém o vetor nulo, ou seja, .

Resposta

Os únicos espaços vetoriais que têm um número finito de vetores são aqueles que contêm apenas o vetor nulo.

Exercícios relacionados

Nos Exercicios de 11 a 17, determine se o conjunto dado juntamente com as operaçōes dadas é um espaço vetorial. Se näo for, relacione as propriedades da Definição I que näo são validas.
Verifique em detalhes que é um espaço vetorial.
Determine valores de para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
(a) solução única;
Determine valores de para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
© nenhuma solução.