Determine valores de k in R para que o sistema cuja matriz aumentada é
A=[rrrr 1 & -2 & k & -1 2 & -2 & 3+2 k & 2 4 & -10 & k^2 & k-9 0 & 2 & 3 & 2 k ]
tenha:
© nenhuma solução.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz aumentada . Queremos descobrir para quais valores reais de esse sistema não tem solução. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um sistema de equações lineares não tem solução quando ele é inconsistente. Isso acontece quando nas nossas equações há uma contradição, como , que obviamente não faz sentido. Para verificar isso na matriz aumentada, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma forma mais simples e identificar se há alguma contradição.

Passo 3

Vamos escrever a matriz aumentada A = [rrrr 1 & -2 & k & -1 2 & -2 & 3+2k & 2 4 & -10 & k^2 & k-9 0 & 2 & 3 & 2k ] novamente para facilitar:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior usando operações de linha, para facilitar a identificação de condições que levam a uma inconsistência.

Passo 4

Primeira etapa da eliminação de Gauss:
Vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1
2 - 2 times 1 = 0
-2 - 2 times (-2) = 2
3 + 2k - 2 times k = 3
2 - 2 times (-1) = 4
  • Linha 3: Subtraímos 4 vezes a Linha 1 da Linha 3.
Linha 3 = Linha 3 - 4 times Linha 1
4 - 4 times 1 = 0
-10 - 4 times (-2) = -2
k^2 - 4 times k = k^2 - 4k
k - 9 - 4 times (-1) = k - 5
A matriz fica assim:
[rrrr 1 & -2 & k & -1 0 & 2 & 3 & 4 0 & -2 & k^2 - 4k & k - 5 0 & 2 & 3 & 2k ]

Passo 5

Segunda etapa da eliminação de Gauss:
Agora, vamos usar o segundo elemento da segunda linha como pivô para eliminar os elementos abaixo e acima dele na segunda coluna.
Primeiro, multiplicamos a Linha 2 por Linha 2 = 12 times Linha 2 Rightarrow [0 1 32 2] para facilitar:
Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 2
Agora, eliminamos os elementos na segunda coluna das Linhas 3 e 4.
  • Linha 3: Adicionamos 2 vezes a Linha 2 à Linha 3.
0 + 2 times 0 = 0
-2 + 2 times 1 = 0
k^2 - 4k + 2 times 32 = k^2 - 4k + 3
k - 5 + 2 times 2 = k - 1
Linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 2
  • Linha 4: Subtraímos 2 vezes a Linha 2 da Linha 4.
0 - 2 times 0 = 0
2 - 2 times 1 = 0
3 - 2 times 32 = 0
2k - 2 times 2 = 2k - 4
[rrrr 1 & -2 & k & -1 0 & 1 & 32 & 2 0 & 0 & k^2 - 4k + 3 & k - 1 0 & 0 & 0 & 2k - 4 ]
A matriz agora fica:

Passo 6

Analisando a última linha:
A última linha da matriz é:
0 0 0 2k - 4
Isso corresponde à equação:
0x + 0y + 0z = 2k - 4
Para que o sistema seja inconsistente, precisamos que essa equação seja uma contradição, ou seja:
0 = 2k - 4
No entanto, isso só é verdadeiro se 2k - 4 neq 0 Rightarrow k neq 2 . Mas na verdade, para ser inconsistente, queremos que , ou seja, que a equação seja , o que gera a contradição.
Então, para o sistema não ter solução, precisamos que:

Passo 7

Verificando as outras linhas:
Para garantir que a única contradição venha da última linha, precisamos que as outras equações não criem mais contradições. Olhando para a terceira linha:
k^2 - 4k + 3 e k - 1
Para que o sistema seja inconsistente somente devido à última linha, a terceira linha não deve gerar uma contradição. Isso acontece quando o coeficiente de k^2 - 4k + 3 neq 0 na terceira linha não é zero, ou seja:
k^2 - 4k + 3 = 0 Rightarrow k = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 Rightarrow k = 3 ou k = 1
Resolvendo essa inequação:
Então, para evitar contradições adicionais, e .

Resposta

Os valores de que fazem o sistema não ter solução são todos os reais exceto , e . Ou seja, tal que , e .

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