Determine valores de para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
© nenhuma solução.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz aumentada . Queremos descobrir para quais valores reais de esse sistema não tem solução. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um sistema de equações lineares não tem solução quando ele é inconsistente. Isso acontece quando nas nossas equações há uma contradição, como , que obviamente não faz sentido. Para verificar isso na matriz aumentada, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma forma mais simples e identificar se há alguma contradição.

Passo 3

Vamos escrever a matriz aumentada novamente para facilitar:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior usando operações de linha, para facilitar a identificação de condições que levam a uma inconsistência.

Passo 4

Primeira etapa da eliminação de Gauss:
Vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtraímos 4 vezes a Linha 1 da Linha 3.
A matriz fica assim:

Passo 5

Segunda etapa da eliminação de Gauss:
Agora, vamos usar o segundo elemento da segunda linha como pivô para eliminar os elementos abaixo e acima dele na segunda coluna.
Primeiro, multiplicamos a Linha 2 por para facilitar:
Agora, eliminamos os elementos na segunda coluna das Linhas 3 e 4.
  • Linha 3: Adicionamos 2 vezes a Linha 2 à Linha 3.
  • Linha 4: Subtraímos 2 vezes a Linha 2 da Linha 4.
A matriz agora fica:

Passo 6

Analisando a última linha:
A última linha da matriz é:
Isso corresponde à equação:
Para que o sistema seja inconsistente, precisamos que essa equação seja uma contradição, ou seja:
No entanto, isso só é verdadeiro se . Mas na verdade, para ser inconsistente, queremos que , ou seja, que a equação seja , o que gera a contradição.
Então, para o sistema não ter solução, precisamos que:

Passo 7

Verificando as outras linhas:
Para garantir que a única contradição venha da última linha, precisamos que as outras equações não criem mais contradições. Olhando para a terceira linha:
Para que o sistema seja inconsistente somente devido à última linha, a terceira linha não deve gerar uma contradição. Isso acontece quando o coeficiente de na terceira linha não é zero, ou seja:
Resolvendo essa inequação:
Então, para evitar contradições adicionais, e .

Resposta

Os valores de que fazem o sistema não ter solução são todos os reais exceto , e . Ou seja, tal que , e .

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tenha:
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Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
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