Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz aumentada . Queremos descobrir para quais valores reais de esse sistema não tem solução. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um sistema de equações lineares não tem solução quando ele é inconsistente. Isso acontece quando nas nossas equações há uma contradição, como , que obviamente não faz sentido. Para verificar isso na matriz aumentada, vamos usar o método de eliminação de Gauss para transformar a matriz em uma forma mais simples e identificar se há alguma contradição.
Passo 3
Vamos escrever a matriz aumentada A = [rrrr 1 & -2 & k & -1 2 & -2 & 3+2k & 2 4 & -10 & k^2 & k-9 0 & 2 & 3 & 2k ] novamente para facilitar:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz triangular superior usando operações de linha, para facilitar a identificação de condições que levam a uma inconsistência.
Passo 4
Primeira etapa da eliminação de Gauss:
Vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô para eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Para que o sistema seja inconsistente, precisamos que essa equação seja uma contradição, ou seja:
0 = 2k - 4
No entanto, isso só é verdadeiro se 2k - 4 neq 0 Rightarrow k neq 2 . Mas na verdade, para ser inconsistente, queremos que , ou seja, que a equação seja , o que gera a contradição.
Então, para o sistema não ter solução, precisamos que:
Passo 7
Verificando as outras linhas:
Para garantir que a única contradição venha da última linha, precisamos que as outras equações não criem mais contradições. Olhando para a terceira linha:
k^2 - 4k + 3 e k - 1
Para que o sistema seja inconsistente somente devido à última linha, a terceira linha não deve gerar uma contradição. Isso acontece quando o coeficiente de k^2 - 4k + 3 neq 0 na terceira linha não é zero, ou seja:
k^2 - 4k + 3 = 0 Rightarrow k = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22 Rightarrow k = 3 ou k = 1
Resolvendo essa inequação:
Então, para evitar contradições adicionais, e .
Resposta
Os valores de que fazem o sistema não ter solução são todos os reais exceto , e . Ou seja, tal que , e .