Nos Exercicios de 11 a 17, determine se o conjunto dado juntamente com as operaçōes dadas é um espaço vetorial. Se näo for, relacione as propriedades da Definição I que näo são validas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar se um conjunto, com certas operações, forma um espaço vetorial. Se não formar, temos que identificar quais propriedades da Definição I não são válidas. Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e testar cada uma delas com o conjunto e as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de cumprir com duas operações básicas (adição e multiplicação por escalar), satisfaz uma série de propriedades chamadas de axiomas. Essas propriedades garantem que podemos fazer operações de forma consistente dentro do espaço.
Passo 3
A Definição I de um espaço vetorial inclui os seguintes axiomas:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero
tal que - Elemento inverso da adição: Para todo vetor
, existe um vetor tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Passo 4
Agora, vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto e as operações dadas no exercício:
- Comutatividade da adição: Verificamos se
para todos os vetores no conjunto. - Associatividade da adição: Verificamos se
para todos os vetores. - Elemento neutro da adição: Procuramos se existe um vetor
que, quando adicionado a qualquer vetor , retorna . - Elemento inverso da adição: Para cada vetor
, verificamos se existe um vetor que anula na adição. - Compatibilidade da multiplicação por escalares: Checamos se multiplicar um vetor por dois escalares diferentes em sequência é o mesmo que multiplicar diretamente pelo produto dos escalares.
- Elemento neutro da multiplicação por escalar: Confirmamos se multiplicar qualquer vetor por 1 retorna o próprio vetor.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Verificamos se multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é o mesmo que somar as multiplicações individuais.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Checamos se a soma de dois escalares multiplicada por um vetor é igual à soma das multiplicações individuais.
Passo 5
Se, ao verificar cada uma dessas propriedades, todas forem verdadeiras para o conjunto e as operações dadas, então estamos lidando com um espaço vetorial. Caso contrário, identificamos quais propriedades não foram satisfeitas e, consequentemente, o conjunto com as operações não forma um espaço vetorial.
Resposta
Portanto, seguindo os passos acima, ao verificar cada propriedade da Definição I para o conjunto e as operações fornecidas, podemos concluir se o conjunto é ou não um espaço vetorial. Se alguma propriedade não for válida, essa será a razão pela qual o conjunto não forma um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Verifique em detalhes que
é um espaço vetorial.
Verdadeiro ou falso? Se for verdadeiro, prove. Se for falso, apresente um contra-exemplo
d) .
d)
(a)
é um espaço vetorial que tem um vetor nalo-nulo, quantos vetores tem
?
(b) Descreva todos os espaços vetoriais que têm um nümero finito de vetores.
(b) Descreva todos os espaços vetoriais que têm um nümero finito de vetores.
Determine valores de
para que o sistema cuja matriz aumentada é
tenha:
(a) solução única;
(a) solução única;