Nos Exercicios de 11 a 17, determine se o conjunto dado juntamente com as operaçōes dadas é um espaço vetorial. Se näo for, relacione as propriedades da Definição I que näo são validas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar se um conjunto, com certas operações, forma um espaço vetorial. Se não formar, temos que identificar quais propriedades da Definição I não são válidas. Vamos precisar lembrar das propriedades que definem um espaço vetorial e testar cada uma delas com o conjunto e as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de cumprir com duas operações básicas (adição e multiplicação por escalar), satisfaz uma série de propriedades chamadas de axiomas. Essas propriedades garantem que podemos fazer operações de forma consistente dentro do espaço.

Passo 3

A Definição I de um espaço vetorial inclui os seguintes axiomas:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
  4. Elemento inverso da adição: Para todo vetor , existe um vetor tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:

Passo 4

Agora, vamos verificar cada uma dessas propriedades para o conjunto e as operações dadas no exercício:
  1. Comutatividade da adição: Verificamos se para todos os vetores no conjunto.
  2. Associatividade da adição: Verificamos se para todos os vetores.
  3. Elemento neutro da adição: Procuramos se existe um vetor que, quando adicionado a qualquer vetor , retorna .
  4. Elemento inverso da adição: Para cada vetor , verificamos se existe um vetor que anula na adição.
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalares: Checamos se multiplicar um vetor por dois escalares diferentes em sequência é o mesmo que multiplicar diretamente pelo produto dos escalares.
  6. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Confirmamos se multiplicar qualquer vetor por 1 retorna o próprio vetor.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Verificamos se multiplicar um escalar pela soma de dois vetores é o mesmo que somar as multiplicações individuais.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Checamos se a soma de dois escalares multiplicada por um vetor é igual à soma das multiplicações individuais.

Passo 5

Se, ao verificar cada uma dessas propriedades, todas forem verdadeiras para o conjunto e as operações dadas, então estamos lidando com um espaço vetorial. Caso contrário, identificamos quais propriedades não foram satisfeitas e, consequentemente, o conjunto com as operações não forma um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, seguindo os passos acima, ao verificar cada propriedade da Definição I para o conjunto e as operações fornecidas, podemos concluir se o conjunto é ou não um espaço vetorial. Se alguma propriedade não for válida, essa será a razão pela qual o conjunto não forma um espaço vetorial.

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