Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
com operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
Nosso objetivo é verificar se
é um espaço vetorial. Para isso, precisaremos analisar os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se todos são satisfeitos nesse conjunto com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Um espaço vetorial deve satisfazer os seguintes axiomas:
- Associatividade da Adição:
- Comutatividade da Adição:
- Elemento Neutro da Adição: Existe um elemento
tal que - Inverso Aditivo: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
- Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto
com as operações dadas.
Passo 3
Axioma 1: Associatividade da Adição
Vamos verificar se
para
,
, e
.
Como os dois lados são iguais, o axioma da associatividade está satisfeito.
Passo 4
Axioma 2: Comutatividade da Adição
Vamos verificar se
.
Como
, o axioma da comutatividade está satisfeito.
Passo 5
Axioma 3: Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor
em
tal que
para todo
.
Suponhamos que
. Então:
Para isso ser verdade para todo
, deve-se ter
. Portanto, o elemento neutro é
, e o axioma está satisfeito.
Passo 6
Axioma 4: Inverso Aditivo
Para cada
, devemos encontrar
tal que
.
Suponhamos que
. Então:
Para isso,
, ou seja,
. Portanto, o inverso aditivo de
é
, e o axioma está satisfeito.
Passo 7
Axioma 5: Compatibilidade da Multiplicação por Escalar
Vamos verificar se
.
Primeiro, calculemos
:
Agora,
:
E
:
Como
, o axioma está satisfeito.
Passo 8
Axioma 6: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Precisamos verificar se
.
Portanto, o axioma está satisfeito.
Passo 9
Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Vamos verificar se
.
Primeiro,
. Então:
Agora,
:
Como
, o axioma está satisfeito.
Passo 10
Axioma 8: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Vamos verificar se
.
Primeiro,
:
Agora,
:
Como
, o axioma está satisfeito.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto,
é um espaço vetorial.
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