Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
(b) V=(1, x) in R^2, (1, x)+(1, x^prime)=(1, x+x^prime) e k(1, x)=(1, k x).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto (1, x) + (1, x') = (1, x + x') e k(1, x) = (1, kx) com operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
Nosso objetivo é verificar se é um espaço vetorial. Para isso, precisaremos analisar os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se todos são satisfeitos nesse conjunto com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Um espaço vetorial deve satisfazer os seguintes axiomas:
  1. Associatividade da Adição:
  2. Comutatividade da Adição:
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um elemento tal que
  4. Inverso Aditivo: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar:
  6. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto com as operações dadas.

Passo 3

Axioma 1: Associatividade da Adição
Vamos verificar se (u + v) + w = (1, x + y) + (1, z) = (1, (x + y) + z) = (1, x + y + z) para u + (v + w) = (1, x) + (1, y + z) = (1, x + (y + z)) = (1, x + y + z) , , e .
Como os dois lados são iguais, o axioma da associatividade está satisfeito.

Passo 4

Axioma 2: Comutatividade da Adição
Vamos verificar se u + v = (1, x) + (1, y) = (1, x + y) .
v + u = (1, y) + (1, x) = (1, y + x) = (1, x + y)
Como , o axioma da comutatividade está satisfeito.

Passo 5

Axioma 3: Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor u + 0 = (1, x) + (1, a) = (1, x + a) = (1, x) em tal que para todo .
Suponhamos que . Então:
Para isso ser verdade para todo , deve-se ter . Portanto, o elemento neutro é , e o axioma está satisfeito.

Passo 6

Axioma 4: Inverso Aditivo
Para cada u + (-u) = (1, x) + (1, b) = (1, x + b) = (1, 0) , devemos encontrar tal que .
Suponhamos que . Então:
Para isso, , ou seja, . Portanto, o inverso aditivo de é , e o axioma está satisfeito.

Passo 7

Axioma 5: Compatibilidade da Multiplicação por Escalar
Vamos verificar se bu = b(1, x) = (1, bx) .
Primeiro, calculemos a(1, bx) = (1, a(bx)) = (1, abx) :
(ab)u = (ab)(1, x) = (1, abx)
Agora, :
E :
Como , o axioma está satisfeito.

Passo 8

Axioma 6: Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Precisamos verificar se 1u = 1(1, x) = (1, 1 cdot x) = (1, x) = u .
Portanto, o axioma está satisfeito.

Passo 9

Axioma 7: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Vamos verificar se a(u + v) = a(1, x + y) = (1, a(x + y)) = (1, ax + ay) .
Primeiro, au = (1, ax) e av = (1, ay) . Então:
au + av = (1, ax) + (1, ay) = (1, ax + ay)
Agora, :
Como , o axioma está satisfeito.

Passo 10

Axioma 8: Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Vamos verificar se (a + b)u = (a + b)(1, x) = (1, (a + b)x) = (1, ax + bx) .
Primeiro, au = (1, ax) e bu = (1, bx) :
au + bu = (1, ax) + (1, bx) = (1, ax + bx)
Agora, :
Como , o axioma está satisfeito.

Resposta

O conjunto com as operações definidas satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, é um espaço vetorial.

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