Verificar se a reta r está contida no plano pi:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações e , e um plano dado pela equação . O conteúdo envolvido aqui é geometria analítica, especificamente a relação entre retas e planos no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta e verificar se todas as suas coordenadas satisfazem a equação do plano .

Passo 2

Vamos começar parametrizando a reta x = t y = 4t + 1 z = 2t - 1 . Quando temos as equações de e em função de , podemos usar como nosso parâmetro, frequentemente chamado de . Assim, podemos escrever:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser representado por , onde é um número real.

Passo 3

Agora que temos a parametrização da reta, vamos substituir essas expressões na equação do plano 2x + y - 3z - 4 = 0 para ver se o ponto 2(t) + (4t + 1) - 3(2t - 1) - 4 = 0 satisfaz a equação do plano para qualquer valor de . A equação do plano é:
Substituindo , e :

Passo 4

Vamos simplificar a equação passo a passo:
2t + 4t + 1 - 6t + 3 - 4 = 0
(2t + 4t - 6t) + (1 + 3 - 4) = 0
0t + 0 = 0
0 = 0
Isso significa que, independente do valor de , a equação é sempre verdadeira.

Resposta

Como a equação do plano é satisfeita para qualquer valor de , a reta está contida no plano .

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