Prove que se
e
forem reticulados, então
também é um reticulado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se
e
forem reticulados, então
também é um reticulado. O conteúdo aqui está relacionado à Teoria das Ordens e, mais especificamente, aos reticulados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um reticulado, como combinar dois reticulados e verificar se a combinação também forma um reticulado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um reticulado. Um reticulado é uma estrutura algébrica
onde
é um conjunto e
é uma relação de ordem parcial que satisfaz duas propriedades principais:
- Existência do Mínimo Supremo (Join): Para quaisquer dois elementos
, existe um menor elemento que é maior ou igual a ambos. - Existência do Máximo Inferior (Meet): Para quaisquer dois elementos
, existe um maior elemento que é menor ou igual a ambos.
Essas duas operações garantem que o conjunto tenha estrutura suficiente para ser considerado um reticulado.
Passo 3
Agora, vamos considerar que temos dois reticulados separados:
e
. Queremos mostrar que a união desses dois reticulados, formando
, também é um reticulado.
Assumindo que
, ou seja, o conjunto
é o produto cartesiano de
e
, e
é definido componente a componente, ou seja,
se e somente se
e
.
Passo 4
Precisamos verificar se
satisfaz as propriedades de um reticulado:
-
Existência do Join (Mínimo Supremo): Tomemos dois elementos
e em . O join deles seria , onde é o join em cada reticulado individual. Como e são reticulados, esses joins existem. -
Existência do Meet (Máximo Inferior): Similarmente, o meet de
e seria . Novamente, como e são reticulados, esses meets existem.
Passo 5
Como vimos, para quaisquer dois elementos em
, tanto o join quanto o meet existem e são definidos componente a componente usando as operações dos reticulados
e
. Isso satisfaz as duas condições principais para que
seja um reticulado.
Resposta
Portanto, comprovamos que se
e
forem reticulados, então
também é um reticulado.