Prove que se e forem reticulados, então também é um reticulado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que se e forem reticulados, então também é um reticulado. O conteúdo aqui está relacionado à Teoria das Ordens e, mais especificamente, aos reticulados. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um reticulado, como combinar dois reticulados e verificar se a combinação também forma um reticulado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um reticulado. Um reticulado é uma estrutura algébrica onde é um conjunto e é uma relação de ordem parcial que satisfaz duas propriedades principais:
  1. Existência do Mínimo Supremo (Join): Para quaisquer dois elementos , existe um menor elemento que é maior ou igual a ambos.
  2. Existência do Máximo Inferior (Meet): Para quaisquer dois elementos , existe um maior elemento que é menor ou igual a ambos.
Essas duas operações garantem que o conjunto tenha estrutura suficiente para ser considerado um reticulado.

Passo 3

Agora, vamos considerar que temos dois reticulados separados: e . Queremos mostrar que a união desses dois reticulados, formando , também é um reticulado.
Assumindo que , ou seja, o conjunto é o produto cartesiano de e , e é definido componente a componente, ou seja, se e somente se e .

Passo 4

Precisamos verificar se satisfaz as propriedades de um reticulado:
  1. Existência do Join (Mínimo Supremo): Tomemos dois elementos e em . O join deles seria , onde é o join em cada reticulado individual. Como e são reticulados, esses joins existem.
  2. Existência do Meet (Máximo Inferior): Similarmente, o meet de e seria . Novamente, como e são reticulados, esses meets existem.

Passo 5

Como vimos, para quaisquer dois elementos em , tanto o join quanto o meet existem e são definidos componente a componente usando as operações dos reticulados e . Isso satisfaz as duas condições principais para que seja um reticulado.

Resposta

Portanto, comprovamos que se e forem reticulados, então também é um reticulado.

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