Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é criar um mapa de contorno para a função
. Um mapa de contorno mostra várias curvas de nível, que são linhas onde a função tem o mesmo valor. Para isso, vamos precisar entender como determinar essas curvas e plotá-las no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. É simplesmente o conjunto de pontos
que fazem a função
ter um valor constante. Ou seja, para um valor
, temos:
No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos escolher alguns valores para
para desenhar diferentes curvas de nível. Geralmente, escolhemos valores positivos, já que
e
são sempre positivos ou zero. Vamos escolher
, por exemplo.
Passo 4
Para cada valor de
, vamos reescrever a equação da curva de nível e identificar que tipo de curva é. A equação geral é:
Isso é a equação de uma elipse, porque os coeficientes de
e
são diferentes.
Passo 5
Vamos resolver para
em função de
para facilitar o desenho:
Isso nos mostra como
varia com
para cada valor de
.
Passo 6
Agora, vamos plotar as elipses para cada valor de
:
-
Para
: Essa é uma elipse bem pequena. -
Para
: Uma elipse um pouco maior. -
Para
: Elipse ainda maior. -
Para
: A maior das elipses que escolhemos.
Passo 7
Ao desenhar essas elipses no plano
, você verá que elas são simétricas em relação aos eixos
e
. Conforme
aumenta, as elipses se expandem, mostrando mais “contorno” da função.
Resposta
Pronto! O mapa de contorno da função
consiste em várias elipses com a equação
para diferentes valores de
. Quanto maior o
, maior a elipse no gráfico.