Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(e) f(x, y) = x^2 + 9y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é criar um mapa de contorno para a função . Um mapa de contorno mostra várias curvas de nível, que são linhas onde a função tem o mesmo valor. Para isso, vamos precisar entender como determinar essas curvas e plotá-las no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. É simplesmente o conjunto de pontos que fazem a função ter um valor constante. Ou seja, para um valor , temos:
No nosso caso, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos escolher alguns valores para para desenhar diferentes curvas de nível. Geralmente, escolhemos valores positivos, já que e são sempre positivos ou zero. Vamos escolher , por exemplo.

Passo 4

Para cada valor de , vamos reescrever a equação da curva de nível e identificar que tipo de curva é. A equação geral é:
Isso é a equação de uma elipse, porque os coeficientes de e são diferentes.

Passo 5

Vamos resolver para em função de para facilitar o desenho:
Isso nos mostra como varia com para cada valor de .

Passo 6

Agora, vamos plotar as elipses para cada valor de :
  • Para :
    Essa é uma elipse bem pequena.
  • Para :
    Uma elipse um pouco maior.
  • Para :
    Elipse ainda maior.
  • Para :
    A maior das elipses que escolhemos.

Passo 7

Ao desenhar essas elipses no plano , você verá que elas são simétricas em relação aos eixos e . Conforme aumenta, as elipses se expandem, mostrando mais “contorno” da função.

Resposta

Pronto! O mapa de contorno da função consiste em várias elipses com a equação para diferentes valores de . Quanto maior o , maior a elipse no gráfico.

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