Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é criar um mapa de contorno para a função . Um mapa de contorno mostra várias curvas de nível, que são linhas onde a função tem o mesmo valor. Para isso, vamos precisar entender como determinar essas curvas e plotá-las no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. É simplesmente o conjunto de pontos que fazem a função ter um valor constante. Ou seja, para um valor , temos:
No nosso caso, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos escolher alguns valores para para desenhar diferentes curvas de nível. Geralmente, escolhemos valores positivos, já que e são sempre positivos ou zero. Vamos escolher , por exemplo.
Passo 4
Para cada valor de , vamos reescrever a equação da curva de nível e identificar que tipo de curva é. A equação geral é:
Isso é a equação de uma elipse, porque os coeficientes de e são diferentes.
Passo 5
Vamos resolver para em função de para facilitar o desenho:
Isso nos mostra como varia com para cada valor de .
Passo 6
Agora, vamos plotar as elipses para cada valor de :
Para :
Essa é uma elipse bem pequena.
Para :
Uma elipse um pouco maior.
Para :
Elipse ainda maior.
Para :
A maior das elipses que escolhemos.
Passo 7
Ao desenhar essas elipses no plano , você verá que elas são simétricas em relação aos eixos e . Conforme aumenta, as elipses se expandem, mostrando mais “contorno” da função.
Resposta
Pronto! O mapa de contorno da função consiste em várias elipses com a equação para diferentes valores de . Quanto maior o , maior a elipse no gráfico.