Determine os valores da variável independente nos quais a função dada é descontínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os valores de
onde a função
é descontínua. A matéria envolvida aqui é o estudo de continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar analisar cada parte da função e ver onde pode haver interrupções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida. Ela é uma função por partes, ou seja, tem definições diferentes dependendo do valor de
. Especificamente:
Precisamos verificar a continuidade em cada intervalo e no ponto onde a definição muda, que é
.
Passo 3
Vamos começar analisando a parte da função para
:
A raiz quadrada é uma função contínua no seu domínio, que aqui é quando
ou seja,
. Então, para todos os
, essa parte da função é contínua.
Passo 4
Agora, vamos olhar para
:
A raiz cúbica é contínua para todos os números reais. Portanto, para todos os
, essa parte da função também é contínua.
Passo 5
O próximo passo é verificar o ponto onde a definição da função muda, que é
. Para que a função seja contínua nesse ponto, o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 0 pela direita e também igual ao valor da função em
.
Vamos calcular:
- Limite pela esquerda (
):
- Limite pela direita (
):
- Valor da função em
:
Passo 6
Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais são diferentes (
), a função
não é contínua em
.
Resposta
A função
é descontínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.
(e)
(e)
Calcule o limite, se existir.
so nâo exista, explique por quê.
so nâo exista, explique por quê.
Determine os valores da variável independente nos quais a função dada é descontínua.
Seja
. Encontre a taxa de variação de
em relação a
, quando
.