Esboce o gráfico da função
. O
e a curva passa por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função
. Aqui, estamos lidando com funções racionais, que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender o domínio da função, identificar assíntotas, pontos de interseção e a forma geral do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que não tornam o denominador igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, resolvemos:
Então, o domínio é
, ou seja, todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar as assíntotas verticais, que ocorrem onde o denominador é zero. Já vimos que isso acontece em
e
. Portanto, temos duas assíntotas verticais:
Passo 4
Em seguida, vamos procurar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo. Observamos os graus do numerador e do denominador:
- Grau do numerador: 1
- Grau do denominador: 2
Quando o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Vamos encontrar agora os pontos de interseção com os eixos. Começamos com o eixo
, que ocorre quando
:
Então, a função passa pelo ponto
, conforme dado no enunciado.
Para a interseção com o eixo
, já vimos que quando
,
, então o único ponto de interseção é
.
Passo 6
Vamos agora analisar o comportamento da função em cada intervalo definido pelas assíntotas verticais:
Calculamos alguns valores para entender como a função se comporta em cada intervalo.
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Isso nos ajuda a traçar o gráfico de cada parte da função.
Passo 7
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
- Assíntotas verticais em
e . - Assíntota horizontal em
. - A função passa pelo ponto
. - Comportamento:
- Para
, a função está abaixo da assíntota horizontal. - Entre
e , está abaixo da assíntota horizontal. - Para
, está acima da assíntota horizontal.
- Para
Resposta
O gráfico da função
possui duas assíntotas verticais em
e
, uma assíntota horizontal em
, e passa pelo ponto
. Com base nisso, o esboço do gráfico apresenta três ramos: um abaixo da assíntota horizontal para
, outro abaixo entre
e
, e finalmente acima da assíntota horizontal para
.
Exercícios relacionados
Encontre a aproximação quadrática
para a função
que satisfaça as condições (i), (ii) e (iii) com
. Faça o gráfico de
e da aproximação linear
uma mesma tela. Comente a qualidade das aproximações
e
de
.
Determine os valores de
para os quais a aproximação quadrática
do Problema 1 tem precisão de
. [Dica: faça os gráficos de
e
em uma tela de computador.]
Esboce o gráfico da função
. O
e a curva passa por
.
Mostre que sejam
e
funções tais que
esteja bem definida. E
é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
.