Esboce o gráfico da função . O e a curva passa por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função . Aqui, estamos lidando com funções racionais, que são quocientes de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender o domínio da função, identificar assíntotas, pontos de interseção e a forma geral do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não tornam o denominador igual a zero, porque não podemos dividir por zero. Então, resolvemos:
Então, o domínio é , ou seja, todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos identificar as assíntotas verticais, que ocorrem onde o denominador é zero. Já vimos que isso acontece em e . Portanto, temos duas assíntotas verticais:

Passo 4

Em seguida, vamos procurar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Observamos os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 1
  • Grau do denominador: 2
Quando o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal é .
í

Passo 5

Vamos encontrar agora os pontos de interseção com os eixos. Começamos com o eixo , que ocorre quando :
Então, a função passa pelo ponto , conforme dado no enunciado.
Para a interseção com o eixo , já vimos que quando , , então o único ponto de interseção é .

Passo 6

Vamos agora analisar o comportamento da função em cada intervalo definido pelas assíntotas verticais:
Calculamos alguns valores para entender como a função se comporta em cada intervalo.
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Isso nos ajuda a traçar o gráfico de cada parte da função.

Passo 7

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico:
  • Assíntotas verticais em e .
  • Assíntota horizontal em .
  • A função passa pelo ponto .
  • Comportamento:
    • Para , a função está abaixo da assíntota horizontal.
    • Entre e , está abaixo da assíntota horizontal.
    • Para , está acima da assíntota horizontal.

Resposta

O gráfico da função possui duas assíntotas verticais em e , uma assíntota horizontal em , e passa pelo ponto . Com base nisso, o esboço do gráfico apresenta três ramos: um abaixo da assíntota horizontal para , outro abaixo entre e , e finalmente acima da assíntota horizontal para .

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Encontre a aproximação quadrática para a função que satisfaça as condições (i), (ii) e (iii) com . Faça o gráfico de e da aproximação linear uma mesma tela. Comente a qualidade das aproximações e de .
Determine os valores de para os quais a aproximação quadrática do Problema 1 tem precisão de . [Dica: faça os gráficos de e em uma tela de computador.]
Esboce o gráfico da função . O e a curva passa por .
Mostre que sejam e funções tais que esteja bem definida. E é contínua em e é contínua em , então é contínua em .