Encontre a aproximação quadrática para a função que satisfaça as condições (i), (ii) e (iii) com . Faça o gráfico de e da aproximação linear uma mesma tela. Comente a qualidade das aproximações e de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação quadrática da função usando um polinômio . Isso envolve conceitos de aproximação polinomial e desenvolvimento em série de Taylor. Vamos precisar calcular algumas derivadas da função cosseno e igualar as condições para achar os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aproximação quadrática é um polinômio de segundo grau que aproxima uma função em torno de um ponto específico, no caso, . Essa aproximação é baseada na série de Taylor, que usa as derivadas da função no ponto para construir o polinômio.

Passo 3

Para construir o polinômio de Taylor de segunda ordem para em torno de , usamos a fórmula:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias de :
  1. então
  2. então

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio:
Então, os coeficientes são:

Passo 6

Passando para a parte gráfica, precisaríamos plotar as três funções:
  1. Função original:
  2. Aproximação quadrática:
  3. Aproximação linear:
Como estamos trabalhando com texto, imagine que ao redor de , todas as três funções começam próximas, mas conforme se afasta de zero, a aproximação quadrática se ajusta melhor à curva do cosseno do que a aproximação linear, que é simplesmente uma linha constante.

Passo 7

Sobre a qualidade das aproximações:
  • Aproximação Quadrática : Ela captura a concavidade da função perto de , proporcionando uma estimativa mais precisa que a linear. Conforme aumenta, a aproximação quadrática continua a seguir mais de perto a verdadeira curva de até certo ponto.
  • Aproximação Linear : Sendo uma linha constante , ela é uma boa aproximação apenas exatamente em . À medida que nos afastamos desse ponto, a diferença entre e aumenta significativamente, tornando-a menos precisa.

Resposta

A aproximação quadrática para em é . Ao comparar as aproximações, segue mais de perto a função original próximo de zero, enquanto a aproximação linear só é precisa exatamente em . Portanto, a aproximação quadrática oferece uma melhor representação da função nas proximidades de .

Exercícios relacionados

Determine os valores de para os quais a aproximação quadrática do Problema 1 tem precisão de . [Dica: faça os gráficos de e em uma tela de computador.]
Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
;
Esboce o gráfico da função . O e a curva passa por .
Esboce o gráfico da função . O e a curva passa por .