Encontre a aproximação quadrática
para a função
que satisfaça as condições (i), (ii) e (iii) com
. Faça o gráfico de
e da aproximação linear
uma mesma tela. Comente a qualidade das aproximações
e
de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação quadrática da função
usando um polinômio
. Isso envolve conceitos de aproximação polinomial e desenvolvimento em série de Taylor. Vamos precisar calcular algumas derivadas da função cosseno e igualar as condições para achar os coeficientes
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aproximação quadrática é um polinômio de segundo grau que aproxima uma função em torno de um ponto específico, no caso,
. Essa aproximação é baseada na série de Taylor, que usa as derivadas da função no ponto
para construir o polinômio.
Passo 3
Para construir o polinômio de Taylor de segunda ordem para
em torno de
, usamos a fórmula:
Como
, simplificamos para:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias de
:
-
-
então -
então
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do polinômio:
Então, os coeficientes são:
Passo 6
Passando para a parte gráfica, precisaríamos plotar as três funções:
- Função original:
- Aproximação quadrática:
- Aproximação linear:
Como estamos trabalhando com texto, imagine que ao redor de
, todas as três funções começam próximas, mas conforme
se afasta de zero, a aproximação quadrática se ajusta melhor à curva do cosseno do que a aproximação linear, que é simplesmente uma linha constante.
Passo 7
Sobre a qualidade das aproximações:
-
Aproximação Quadrática
: Ela captura a concavidade da função perto de , proporcionando uma estimativa mais precisa que a linear. Conforme aumenta, a aproximação quadrática continua a seguir mais de perto a verdadeira curva de até certo ponto. -
Aproximação Linear
: Sendo uma linha constante , ela é uma boa aproximação apenas exatamente em . À medida que nos afastamos desse ponto, a diferença entre e aumenta significativamente, tornando-a menos precisa.
Resposta
A aproximação quadrática para
em
é
. Ao comparar as aproximações,
segue mais de perto a função original
próximo de zero, enquanto a aproximação linear
só é precisa exatamente em
. Portanto, a aproximação quadrática oferece uma melhor representação da função
nas proximidades de
.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais a aproximação quadrática
do Problema 1 tem precisão de
. [Dica: faça os gráficos de
e
em uma tela de computador.]
Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$© ;
$©
Esboce o gráfico da função
. O
e a curva passa por
.
Esboce o gráfico da função
. O
e a curva passa por
.