Encontre a aproximação quadrática P(x) = A + B x + C x^2 para a função f(x) = cos(x) que satisfaça as condições (i), (ii) e (iii) com a = 0. Faça o gráfico de P, f e da aproximação linear L(x) = 1 em uma mesma tela. Comente a qualidade das aproximações P e L de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação quadrática da função usando um polinômio . Isso envolve conceitos de aproximação polinomial e desenvolvimento em série de Taylor. Vamos precisar calcular algumas derivadas da função cosseno e igualar as condições para achar os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aproximação quadrática é um polinômio de segundo grau que aproxima uma função em torno de um ponto específico, no caso, . Essa aproximação é baseada na série de Taylor, que usa as derivadas da função no ponto para construir o polinômio.

Passo 3

Para construir o polinômio de Taylor de segunda ordem para em torno de , usamos a fórmula:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias de :
  1. então
  2. então

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do polinômio:
Então, os coeficientes são:

Passo 6

Passando para a parte gráfica, precisaríamos plotar as três funções:
  1. Função original:
  2. Aproximação quadrática:
  3. Aproximação linear:
Como estamos trabalhando com texto, imagine que ao redor de , todas as três funções começam próximas, mas conforme se afasta de zero, a aproximação quadrática se ajusta melhor à curva do cosseno do que a aproximação linear, que é simplesmente uma linha constante.

Passo 7

Sobre a qualidade das aproximações:
  • Aproximação Quadrática : Ela captura a concavidade da função perto de , proporcionando uma estimativa mais precisa que a linear. Conforme aumenta, a aproximação quadrática continua a seguir mais de perto a verdadeira curva de até certo ponto.
  • Aproximação Linear : Sendo uma linha constante , ela é uma boa aproximação apenas exatamente em . À medida que nos afastamos desse ponto, a diferença entre e aumenta significativamente, tornando-a menos precisa.

Resposta

A aproximação quadrática para em é . Ao comparar as aproximações, segue mais de perto a função original próximo de zero, enquanto a aproximação linear só é precisa exatamente em . Portanto, a aproximação quadrática oferece uma melhor representação da função nas proximidades de .

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