Determine para quais valores x in R, a série sumn=0^infty sen^n(x)3^n+1 é convergente.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar para quais valores de sumn=0^infty sin^n(x)3^n+1 a série
é convergente. A matéria envolvida aqui é séries numéricas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais condições garantem sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a identificação. Observe que podemos fatorar sumn=0^infty sin^n(x)3^n+1 = 13 sumn=0^infty ( sin(x)3 )^n fora da soma:
Aqui, a série dentro da soma é uma série geométrica da forma , onde .

Passo 3

Agora, vamos lembrar a condição de convergência de uma série geométrica. Uma série geométrica |r| < 1 converge se, e somente se, o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja:
Nesse caso, temos .

Passo 4

Substituindo a nossa razão na condição de convergência:
| sin(x)3 | < 1
Podemos simplificar isso multiplicando ambos os lados por 3:
|sin(x)| < 3
Sabemos que o valor absoluto do seno de qualquer número real |sin(x)| <= 1 está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Portanto, é sempre verdadeiro para qualquer .

Resposta

A série converge para todos os valores reais de .

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