Determine para quais valores , a série é convergente.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar para quais valores de a série
é convergente. A matéria envolvida aqui é séries numéricas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais condições garantem sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a identificação. Observe que podemos fatorar fora da soma:
Aqui, a série dentro da soma é uma série geométrica da forma , onde .

Passo 3

Agora, vamos lembrar a condição de convergência de uma série geométrica. Uma série geométrica converge se, e somente se, o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja:
Nesse caso, temos .

Passo 4

Substituindo a nossa razão na condição de convergência:
Podemos simplificar isso multiplicando ambos os lados por 3:
Sabemos que o valor absoluto do seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Portanto, é sempre verdadeiro para qualquer .

Resposta

A série converge para todos os valores reais de .

Exercícios relacionados

Estude a convergência das séries abaixo: .
Estude a convergência das séries abaixo:
Estude a convergência das séries abaixo: ;
Estude a convergência das séries abaixo: ;