Determine para quais valores , a série é convergente.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar para quais valores de a série
é convergente. A matéria envolvida aqui é séries numéricas, mais especificamente séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais condições garantem sua convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a identificação. Observe que podemos fatorar fora da soma:
Aqui, a série dentro da soma é uma série geométrica da forma , onde .
Passo 3
Agora, vamos lembrar a condição de convergência de uma série geométrica. Uma série geométrica converge se, e somente se, o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja:
Nesse caso, temos .
Passo 4
Substituindo a nossa razão na condição de convergência:
Podemos simplificar isso multiplicando ambos os lados por 3:
Sabemos que o valor absoluto do seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1, ou seja: