Estude a convergência das séries abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a série
. O enunciado pede para verificar se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, especificamente o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, observamos que a série é alternada por causa do termo
. O Teste da Série Alternada diz que, se os termos
da série
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando
vai para o infinito, então a série converge.
Passo 3
Vamos identificar
. Precisamos verificar se
é positiva, decrescente e se
.
Passo 4
Primeiro,
para todo
porque tanto o numerador
quanto o denominador
são positivos.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é decrescente. Para isso, analisamos o comportamento de
quando
aumenta. Observamos que o denominador aumenta mais rápido que o numerador, o que faz com que
diminua conforme
cresce.
Passo 6
Calculamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Então,
.
Passo 7
Como
é positivo, decrescente e tende a zero, pelo Teste da Série Alternada, a série
converge.
Resposta
A série
converge.
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Determine para quais valores
, a série
é convergente.
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