Estude a convergência das séries abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série . O enunciado pede para verificar se essa série converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de convergência de séries, especificamente o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, observamos que a série é alternada por causa do termo . O Teste da Série Alternada diz que, se os termos da série são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série converge.

Passo 3

Vamos identificar . Precisamos verificar se é positiva, decrescente e se .

Passo 4

Primeiro, para todo porque tanto o numerador quanto o denominador são positivos.

Passo 5

Agora, vamos verificar se é decrescente. Para isso, analisamos o comportamento de quando aumenta. Observamos que o denominador aumenta mais rápido que o numerador, o que faz com que diminua conforme cresce.

Passo 6

Calculamos o limite de quando tende ao infinito:
Então, .

Passo 7

Como é positivo, decrescente e tende a zero, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Resposta

A série converge.

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Determine para quais valores , a série é convergente.
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