Estude a convergência das séries abaixo: sumk=1^infty 1k^2(k+1)(k+2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o conteúdo de Testes de Convergência de Séries, mais especificamente o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com uma série que a gente já saiba se converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando fica bem grande. Observando , percebemos que, para valores grandes de , termos como e são praticamente iguais a . Então, a expressão fica aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que uma série p do tipo converge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então essa série converge.

Passo 4

Comparamos agora os termos das duas séries. Para todo 1k^2(k+1)(k+2)^2 <= 1k^5 ,
Isso porque e , o que faz o denominador da nossa série original ser maior que , tornando a fração menor.

Passo 5

Como temos que e a série converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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