Estude a convergência das séries abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série
converge ou não. Para isso, vamos usar o conteúdo de Testes de Convergência de Séries, mais especificamente o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com uma série que a gente já saiba se converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando
fica bem grande. Observando
, percebemos que, para valores grandes de
, termos como
e
são praticamente iguais a
. Então, a expressão fica aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que uma série p do tipo
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então essa série
converge.
Passo 4
Comparamos agora os termos das duas séries. Para todo
,
Isso porque
e
, o que faz o denominador da nossa série original ser maior que
, tornando a fração menor.
Passo 5
Como temos que
e a série
converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Estude a convergência das séries abaixo:
Seja
a curva com equações paramétricas
Determine uma parametrização da reta normal à curva
no ponto
;
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor .)
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor
Estude a convergência das séries abaixo:
.
Determine para quais valores
, a série
é convergente.