Estude a convergência das séries abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o conteúdo de Testes de Convergência de Séries, mais especificamente o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar essa série com uma série que a gente já saiba se converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender melhor como ela se comporta quando fica bem grande. Observando , percebemos que, para valores grandes de , termos como e são praticamente iguais a . Então, a expressão fica aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que uma série p do tipo converge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então essa série converge.

Passo 4

Comparamos agora os termos das duas séries. Para todo ,
Isso porque e , o que faz o denominador da nossa série original ser maior que , tornando a fração menor.

Passo 5

Como temos que e a série converge, pelo Teste da Comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Estude a convergência das séries abaixo:
Seja a curva com equações paramétricas
Determine uma parametrização da reta normal à curva no ponto ;
(Dica: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente. Como determinar inclinação de uma reta parametrizada? Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular? Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor .)
Estude a convergência das séries abaixo: .
Determine para quais valores , a série é convergente.