Estude a convergência das séries abaixo: sumk=1^infty 1ln (k) e^ln (k);

Passo 1

Então, a gente vai ver se a série converge ou não. Aqui, a matéria que a gente usa é sobre convergência de séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns testes de convergência, como o Teste da Integral ou o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Sabemos que 1ln(k) cdot e^ln(k) = 1ln(k) cdot k . Então, o termo geral da série fica:
sumk=1^infty 1k ln(k)
Portanto, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral para verificar a convergência. Esse teste diz que se a função é positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral converge.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral2^infty 1x ln(x) , dx
Fazendo a substituição integralln(2)^infty 1u , du = limb to infty ln(u) |ln(2)^b = limb to infty (ln(b) - ln(ln(2))) , temos . Então, a integral vira:

Passo 5

O limite tende para infinito. Isso significa que a integral diverge.

Passo 6

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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