Estude a convergência das séries abaixo: sumk=1^infty kk^4+1;

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a convergência da série . Vamos utilizar conceitos de Testes de Convergência de Séries, especialmente o Teste da Comparação. Vamos precisar comparar a série dada com uma série conhecida cuja convergência já sabemos.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento geral dos termos da série para valores grandes de kk^4+1 approx kk^4 = 1k^3 . Simplificando a expressão , percebemos que, para grande, o termo domina o denominador, então podemos aproximar:

Passo 3

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então a série converge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Comparação. Comparando os termos da nossa série com os da série que sabemos que converge:
0 <= kk^4+1 <= kk^4 = 1k^3
Como converge e nossos termos são menores ou iguais a esses termos, pela comparação direta, concluímos que a série também converge.

Resposta

A série converge.

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