Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 1n!;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem que verificar se a série sumn=1^infty 1n! é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries numéricas, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries que envolvem fatoriais ou exponenciais. Esse teste consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde an é o termo geral da série. Se L < 1, a série converge; se L > 1, ela diverge; e se L = 1, o teste não dá uma resposta conclusiva.

Passo 3

Aqui, o termo geral da série é an = 1n!. Vamos calcular a razão entre an+1 e an:
an+1an = 1(n+1)! div 1n! = n!(n+1)! = 1n+1

Passo 4

Agora vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 1n+1 = 0

Passo 5

Como L = 0 e 0 < 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n! é convergente.

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