Determine os valores de x in [0, 2 pi] tais que: sen(x) = tan(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação: no intervalo . Aqui estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções seno e tangente. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições dessas funções e como manipulá-las para achar os valores de x que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a tangente de x pode ser expressa em termos de seno e cosseno: Então, nossa equação original fica:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para facilitar a resolução: Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, temos um produto igual a zero, o que significa que pelo menos um dos fatores deve ser igual a zero:
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 6

Caso 1:
Sabemos que o seno de é zero em:
x

Passo 7

Caso 2:
Isso implica que:
Sabemos que o cosseno de x é 1 em:

Passo 8

Vamos verificar as soluções encontradas para garantir que não causam problemas na equação original, como divisão por zero. A tangente é indefinida quando , ou seja, em e . Nossos valores de x são , que não causam divisão por zero, então todas são válidas.

Resposta

Os valores de que satisfazem a equação são:

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