Esboce o gráfico de e determine sua imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da função definida por partes e depois determinar a imagem dessa função. Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções definidas por partes, esboço de gráficos e como encontrar a imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Isso significa que a função muda de expressão dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico em três partes, de acordo com os intervalos de :
  1. Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
  2. Para : A função é , uma reta com inclinação 2.
  3. Para : A função é , uma reta com inclinação -1.

Passo 4

Vamos plotar cada parte:
  1. : Desenhamos a parábola apenas para valores de menores que 0.
  2. : Desenhamos a reta começando em até . No ponto , .
  3. : Desenhamos a reta começando em . No ponto , .

Passo 5

Agora, vamos juntar todas essas partes no mesmo gráfico. Certifique-se de que as transições entre as partes estão corretas:
  • A parábola termina em com .
  • A reta vai de a , com (mas na próxima parte, , então temos um salto no gráfico).
  • A reta começa em com e segue para a direita.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores que pode assumir.
  • Para : varia de 0 até .
  • Para : varia de 0 até 4.
  • Para : varia de -1 até .

Resposta

A imagem da função é o conjunto de todos os valores reais, ou seja, .

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Determine os valores de tais que:
Esboce o gráfico de cada função:
Para cada item calcule . e
Dizemos que uma função é par se , e impar se . As funções e são pares, ímpares ou nenhuma destas possibilidades?