Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçar o gráfico da função definida por partes e depois determinar a imagem dessa função. Vamos precisar entender um pouquinho sobre funções definidas por partes, esboço de gráficos e como encontrar a imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Isso significa que a função muda de expressão dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico em três partes, de acordo com os intervalos de :
Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
Para : A função é , uma reta com inclinação 2.
Para : A função é , uma reta com inclinação -1.
Passo 4
Vamos plotar cada parte:
: Desenhamos a parábola apenas para valores de menores que 0.
: Desenhamos a reta começando em até . No ponto , .
: Desenhamos a reta começando em . No ponto , .
Passo 5
Agora, vamos juntar todas essas partes no mesmo gráfico. Certifique-se de que as transições entre as partes estão corretas:
A parábola termina em com .
A reta vai de a , com (mas na próxima parte, , então temos um salto no gráfico).
A reta começa em com e segue para a direita.
Passo 6
Finalmente, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os valores que pode assumir.
Para : varia de 0 até .
Para : varia de 0 até 4.
Para : varia de -1 até .
Resposta
A imagem da função é o conjunto de todos os valores reais, ou seja, .