O piloto de um avião deseja atingir um ponto a 200 km a leste de sua posição atual. Um vento de hora sopra do noroeste. Calcule o vetor velocidade do avião, em km/hora, em relação à massa de ar que se move, se o seu horário exige que chegue ao seu destino em 40 minutos.
Passo 1
Vamos resumir o problema: um piloto quer chegar a um ponto que fica a 200 km a leste de onde ele está agora. Para isso, ele tem um tempo máximo de 40 minutos para a viagem. Porém, tem um vento soprando do noroeste com uma velocidade de . Precisamos descobrir qual deve ser a velocidade do avião em relação ao ar (ou seja, a velocidade que o avião precisa ter para compensar o vento e chegar no destino a tempo). Vamos usar conceitos de vetores de velocidade e decomposição vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o tempo de viagem de 40 minutos para horas, já que as velocidades estão em km/h. Sabemos que .
Passo 3
Agora, calculamos a velocidade que o avião precisa ter em relação ao solo para percorrer 200 km em horas. Usamos a fórmula da velocidade:
Então, a velocidade resultante em relação ao solo deve ser de para o leste.
Passo 4
Vamos agora representar o vento como um vetor. O vento é de noroeste, o que significa que ele está vindo da direção que está a 45° entre norte e oeste. A velocidade do vento é de . Para decompor esse vento em componentes leste e norte, usamos cosseno e seno de 45°:
Como o vento está soprando do noroeste para o sudeste, a componente leste é positiva e a componente norte é negativa:
Passo 5
Vamos chamar a velocidade do avião em relação ao ar de . A velocidade resultante em relação ao solo é a soma da velocidade do avião e do vento:
Sabemos que deve ser para atingir o destino exatamente a leste. Então:
Passo 6
Agora, resolvemos as equações para encontrar e :
Portanto, a velocidade do avião em relação ao ar é aproximadamente na direção leste e na direção norte.
Resposta
A velocidade do avião em relação à massa de ar é de aproximadamente a leste e ao norte, ou seja: