Determine a velocidade e a aceleração da curva em

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve encontrar a velocidade e a aceleração de uma curva definida pelas funções paramétricas e no instante . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são velocidade e aceleração nesse contexto. A velocidade em uma curva paramétrica é um vetor que mostra a direção e a rapidez com que o ponto se move ao longo da curva. Para encontrá-la, precisamos derivar e em relação a , ou seja, calcular e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas primeiras de e :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no instante :

Passo 5

Com e , podemos calcular a velocidade usando a fórmula da magnitude do vetor velocidade:

Passo 6

Agora, vamos para a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade. Para encontrá-la, precisamos das derivadas segundas de e , ou seja, e .

Passo 7

Calculando as derivadas segundas:

Passo 8

Avaliando no :

Resposta

Portanto, no instante :
  • Velocidade: unidades por tempo.
  • Aceleração: unidades por tempo ao quadrado.

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Encontre os pontos de inflexão na curva .
Encontre os vetores de velocidade e aceleração para a curva , em .
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro , que fica entre os planos e .
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do plano no interior do cilindro .