Determine a velocidade e a aceleração da curva
em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve encontrar a velocidade e a aceleração de uma curva definida pelas funções paramétricas
e
no instante
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são velocidade e aceleração nesse contexto. A velocidade em uma curva paramétrica é um vetor que mostra a direção e a rapidez com que o ponto se move ao longo da curva. Para encontrá-la, precisamos derivar
e
em relação a
, ou seja, calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas primeiras de
e
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no instante
:
Passo 5
Com
e
, podemos calcular a velocidade usando a fórmula da magnitude do vetor velocidade:
Passo 6
Agora, vamos para a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade. Para encontrá-la, precisamos das derivadas segundas de
e
, ou seja,
e
.
Passo 7
Calculando as derivadas segundas:
Passo 8
Avaliando no
:
Resposta
Portanto, no instante
:
- Velocidade:
unidades por tempo. - Aceleração:
unidades por tempo ao quadrado.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos de inflexão na curva
.
Encontre os vetores de velocidade e aceleração para a curva
,
em
.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do cilindro
, que fica entre os planos
e
.
Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
: parte do plano
no interior do cilindro
.