Encontre os pontos de inflexão na curva
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os pontos de inflexão na curva definida por
e
. Isso envolve um pouco de Cálculo, especificamente o estudo de curvas parametrizadas e como determinar onde elas mudam a concavidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
em relação a
e identificar onde a segunda derivada muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto de inflexão. Em uma curva, um ponto de inflexão é onde a concavidade muda, ou seja, de côncava para convexa ou vice-versa. Matematicamente, isso acontece quando a segunda derivada da função muda de sinal (de positiva para negativa ou de negativa para positiva).
Passo 3
Como temos uma curva parametrizada por
, precisamos encontrar a segunda derivada de
em relação a
, que é
. Para isso, primeiro encontramos a primeira derivada
.
A fórmula para
quando as funções estão parametrizadas por
é:
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula da primeira derivada:
Passo 6
Para encontrar a segunda derivada
, usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Passo 7
Simplificando a expressão acima:
Agora, podemos fatorar:
Passo 8
Para encontrar os pontos de inflexão, buscamos onde
:
Isso ocorre quando:
Passo 9
Resolvendo
:
E resolvendo
:
Passo 10
Agora, substituímos esses valores de
nas funções
e
para encontrar os pontos de inflexão.
Por exemplo, para
:
Repetindo esse processo para os demais valores de
, encontramos os pontos de inflexão na curva.
Resposta
Os pontos de inflexão na curva
e
ocorrem nos valores de
, onde
é um número inteiro. Correspondendo a esses valores de
, os pontos de inflexão são:
Por exemplo, para
:
E assim por diante para outros valores de
.