Encontre os pontos de inflexão na curva x(t) = sen(t), y(t) = sen(2t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar os pontos de inflexão na curva definida por e . Isso envolve um pouco de Cálculo, especificamente o estudo de curvas parametrizadas e como determinar onde elas mudam a concavidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de em relação a e identificar onde a segunda derivada muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto de inflexão. Em uma curva, um ponto de inflexão é onde a concavidade muda, ou seja, de côncava para convexa ou vice-versa. Matematicamente, isso acontece quando a segunda derivada da função muda de sinal (de positiva para negativa ou de negativa para positiva).

Passo 3

Como temos uma curva parametrizada por , precisamos encontrar a segunda derivada de em relação a , que é . Para isso, primeiro encontramos a primeira derivada .
A fórmula para quando as funções estão parametrizadas por é:

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da primeira derivada:

Passo 6

Para encontrar a segunda derivada , usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, vamos derivar em relação a :

Passo 7

Simplificando a expressão acima:
Agora, podemos fatorar:

Passo 8

Para encontrar os pontos de inflexão, buscamos onde :
Isso ocorre quando:

Passo 9

Resolvendo :
E resolvendo :

Passo 10

Agora, substituímos esses valores de nas funções e para encontrar os pontos de inflexão.
Por exemplo, para :
Repetindo esse processo para os demais valores de , encontramos os pontos de inflexão na curva.

Resposta

Os pontos de inflexão na curva e ocorrem nos valores de , onde é um número inteiro. Correspondendo a esses valores de , os pontos de inflexão são:
Por exemplo, para :
E assim por diante para outros valores de .

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