Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição é dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente derivadas de funções vetoriais e a definição de velocidade escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da função posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada componente da função posição:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos determinar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 5
Vamos calcular a derivada de cada componente da velocidade:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então, a aceleração é:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. A fórmula para a velocidade escalar é:
Substituindo os valores que encontramos:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A velocidade da partícula é
, a aceleração é
e a velocidade escalar é
.
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especificados.
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