Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente derivadas de funções vetoriais e a definição de velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da função posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada componente da função posição:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos determinar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 5

Vamos calcular a derivada de cada componente da velocidade:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Então, a aceleração é:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. A fórmula para a velocidade escalar é:
Substituindo os valores que encontramos:
Fatorando :
Sabemos que , então:

Resposta

A velocidade da partícula é , a aceleração é e a velocidade escalar é .

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