Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
r(t) = raiz(2) t i + e^t j + e^-t k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar três coisas sobre a partícula:
  1. Velocidade: Que é a derivada da posição em relação ao tempo.
  2. Aceleração: Que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
  3. Velocidade Escalar: Que é a magnitude da velocidade, ou seja, o quanto a partícula está se movendo independentemente da direção.
A função posição dada é:
Vamos precisar usar o conceito de derivadas para achar a velocidade e a aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para a velocidade escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente da função posição em relação a .
A função posição é:
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da velocidade em relação a .
A velocidade é:
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é (porque é uma constante).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, a aceleração é:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade vectorial. Para isso, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Onde , e são as componentes da velocidade.
Nossa velocidade é:
Então:
Simplificando:

Resposta

A velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula são:
  • Velocidade:
  • Aceleração:
  • Velocidade Escalar:

Exercícios relacionados