Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar três coisas sobre a partícula:
- Velocidade: Que é a derivada da posição em relação ao tempo.
- Aceleração: Que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
- Velocidade Escalar: Que é a magnitude da velocidade, ou seja, o quanto a partícula está se movendo independentemente da direção.
A função posição dada é:
Vamos precisar usar o conceito de derivadas para achar a velocidade e a aceleração, e depois calcular a magnitude da velocidade para a velocidade escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente da função posição em relação a
.
A função posição é:
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a velocidade
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da velocidade em relação a
.
A velocidade é:
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é (porque é uma constante). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a aceleração
é:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude da velocidade vectorial. Para isso, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Onde
,
e
são as componentes da velocidade.
Nossa velocidade é:
Então:
Simplificando:
Resposta
A velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula são:
- Velocidade:
- Aceleração:
- Velocidade Escalar: