Determine os vetores velocidade e a posição de uma particula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os vetores de velocidade e posição de uma partícula, dado a aceleração, a velocidade inicial e a posição inicial dela. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente integração, porque para achar velocidade e posição a partir da aceleração, precisamos integrar a função de aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. A aceleração dada é:
Vamos integrar cada componente:
Integrando cada termo:
Então, a velocidade fica:
Onde
é o vetor constante de integração. Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então:
Comparando os componentes:
Portanto, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor posição. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Já temos
, então:
Integrando cada termo:
Então, a posição fica:
Onde
é o vetor constante de integração. Usamos a condição inicial
:
Assim:
Comparando os componentes:
Portanto, a posição é:
Resposta
A velocidade e a posição da partícula são dadas por:
e
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(2.5 pontos) Uma aplicação da integral de linha consiste em considerar uma curva
como um fio delgado (ou seja, um fio de pouca espessura) de arame de densidade variável. Se a densidade de massa linear no ponto
é dada por
, então a massa do arame ao longo da curva é
Usando as informações acima, resolva o seguinte problema. A forma de um arame delgado coincide com a parte da parábola
entre
e
. Se a densidade de massa linear no ponto
é diretamente proporcional à distância do próprio ponto
ao eixo
, encontre a massa do arame.