Determine os vetores velocidade e a posição de uma particula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os vetores de velocidade e posição de uma partícula, dado a aceleração, a velocidade inicial e a posição inicial dela. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente integração, porque para achar velocidade e posição a partir da aceleração, precisamos integrar a função de aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. A aceleração dada é:
Vamos integrar cada componente:
Integrando cada termo:
Então, a velocidade fica:
Onde
é o vetor constante de integração. Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então:
Comparando os componentes:
Portanto, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor posição. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Já temos
, então:
Integrando cada termo:
Então, a posição fica:
Onde
é o vetor constante de integração. Usamos a condição inicial
:
Assim:
Comparando os componentes:
Portanto, a posição é:
Resposta
A velocidade e a posição da partícula são dadas por:
e