Determine os vetores velocidade e a posição de uma particula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.
a(t) = t i + e^t j + e^-t k, v(0) = k, r(0) = j + 4 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os vetores de velocidade e posição de uma partícula, dado a aceleração, a velocidade inicial e a posição inicial dela. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente integração, porque para achar velocidade e posição a partir da aceleração, precisamos integrar a função de aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. A aceleração dada é:
Vamos integrar cada componente:
Integrando cada termo:
Então, a velocidade fica:
Onde é o vetor constante de integração. Agora, usamos a condição inicial para encontrar :
Então:
Comparando os componentes:
ã
Portanto, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor posição. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Já temos , então:
Integrando cada termo:
Então, a posição fica:
Onde é o vetor constante de integração. Usamos a condição inicial :
Assim:
Comparando os componentes:
Portanto, a posição é:

Resposta

A velocidade e a posição da partícula são dadas por:
e

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