Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cinemática, que estuda o movimento das partículas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função posição em relação ao tempo
, pois a velocidade é a primeira derivada da posição e a aceleração é a segunda derivada. A velocidade escalar, ou rapidez, é a magnitude da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da função posição:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto, a velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Assim, a aceleração fica:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a velocidade escalar (ou rapidez) da partícula. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Sabemos que
, então:
Resposta
- Velocidade:
- Aceleração:
- Velocidade escalar:
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Determine os vetores velocidade e a posição de uma particula, dadas a sua aceleração, velocidade e posição iniciais.
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
(2.5 pontos) Uma aplicação da integral de linha consiste em considerar uma curva
como um fio delgado (ou seja, um fio de pouca espessura) de arame de densidade variável. Se a densidade de massa linear no ponto
é dada por
, então a massa do arame ao longo da curva é
Usando as informações acima, resolva o seguinte problema. A forma de um arame delgado coincide com a parte da parábola
entre
e
. Se a densidade de massa linear no ponto
é diretamente proporcional à distância do próprio ponto
ao eixo
, encontre a massa do arame.
(a)(1.0 ponto) Esboce o conjunto
, situado no primeiro quadrante, delimitado pelas curvas
e
.