Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
r(t) = e' (cos(t) i + sen(t) j + t k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cinemática, que estuda o movimento das partículas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função posição em relação ao tempo , pois a velocidade é a primeira derivada da posição e a aceleração é a segunda derivada. A velocidade escalar, ou rapidez, é a magnitude da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da função posição:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Portanto, a velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Assim, a aceleração fica:

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar a velocidade escalar (ou rapidez) da partícula. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Sabemos que , então:

Resposta

  • Velocidade:
  • Aceleração:
  • Velocidade escalar:

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