Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar de uma partícula cuja função posição é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com cinemática, que estuda o movimento das partículas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função posição em relação ao tempo
, pois a velocidade é a primeira derivada da posição e a aceleração é a segunda derivada. A velocidade escalar, ou rapidez, é a magnitude da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente da função posição:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto, a velocidade fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Assim, a aceleração fica:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a velocidade escalar (ou rapidez) da partícula. A velocidade escalar é a magnitude do vetor velocidade:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Sabemos que
, então:
Resposta
- Velocidade:
- Aceleração:
- Velocidade escalar: