(a)(1.0 ponto) Esboce o conjunto R, situado no primeiro quadrante, delimitado pelas curvas x*y=1, x*y=2, y=|x| e y = 2 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o conjunto que está no primeiro quadrante e é delimitado pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções e suas intersecções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam o conjunto :
  1. Hipérboles:
    Essas são hipérboles que se encontram nos quadrantes onde e são positivos, já que estamos no primeiro quadrante.
  2. Retas:
    No primeiro quadrante, simplifica para .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber onde elas se cruzam:
  1. Intersecção de e :
    Então, o ponto é .
  2. Intersecção de e :
    Então, o ponto é .
  3. Intersecção de e :
    Então, o ponto é .
  4. Intersecção de e :
    Então, o ponto é .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar o conjunto . Ele é limitado entre as hipérboles e , e entre as retas e .

Resposta

O conjunto no primeiro quadrante é a região delimitada pelas hipérboles e , e pelas retas e . Essa região é um trapézio curvo formado pelos pontos de interseção , , e .

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