(a)(1.0 ponto) Esboce o conjunto
, situado no primeiro quadrante, delimitado pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o conjunto
que está no primeiro quadrante e é delimitado pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções e suas intersecções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam o conjunto
:
-
Hipérboles:Essas são hipérboles que se encontram nos quadrantes onde
e são positivos, já que estamos no primeiro quadrante. -
-
Retas:No primeiro quadrante,
simplifica para . -
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber onde elas se cruzam:
-
Intersecção de
e : Então, o ponto é. -
Intersecção de
e : Então, o ponto é. -
Intersecção de
e : Então, o ponto é. -
Intersecção de
e : Então, o ponto é.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar o conjunto
. Ele é limitado entre as hipérboles
e
, e entre as retas
e
.
Resposta
O conjunto
no primeiro quadrante é a região delimitada pelas hipérboles
e
, e pelas retas
e
. Essa região é um trapézio curvo formado pelos pontos de interseção
,
,
e
.
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como um fio delgado (ou seja, um fio de pouca espessura) de arame de densidade variável. Se a densidade de massa linear no ponto
é dada por
, então a massa do arame ao longo da curva é
Usando as informações acima, resolva o seguinte problema. A forma de um arame delgado coincide com a parte da parábola
entre
e
. Se a densidade de massa linear no ponto
é diretamente proporcional à distância do próprio ponto
ao eixo
, encontre a massa do arame.
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada.
(2.0 pontos) A força que atua em um ponto
do plano coordenado é
em que
. Encontre o trabalho realizado por
ao longo da metade superior do círculo
de
a
.
(2.5 pontos) Encontre uma função
tal que
, em que
. Em seguida, calcule a integral
ao londo de uma curva
de
a
.