(2.5 pontos) Uma aplicação da integral de linha consiste em considerar uma curva como um fio delgado (ou seja, um fio de pouca espessura) de arame de densidade variável. Se a densidade de massa linear no ponto é dada por , então a massa do arame ao longo da curva é
Usando as informações acima, resolva o seguinte problema. A forma de um arame delgado coincide com a parte da parábola entre e . Se a densidade de massa linear no ponto é diretamente proporcional à distância do próprio ponto ao eixo , encontre a massa do arame.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um arame que segue a forma da parábola , indo do ponto até . A densidade de massa desse arame varia dependendo da distância de cada ponto ao eixo . Queremos descobrir qual é a massa total desse arame. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma todas as pequenas partes de massa ao longo do caminho do arame.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da parábola que o arame segue. A equação descreve uma parábola voltada para baixo, com o vértice no ponto e interceptando o eixo nesse ponto. O arame vai de a no eixo , ou seja, entre os pontos e .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a densidade de massa linear, . A questão diz que a densidade é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo . A distância de um ponto até o eixo é simplesmente o valor absoluto de , ou seja, . Então, podemos escrever:
Como a proporcionalidade não foi especificada, podemos assumir que para simplificar, ficando:
Passo 4
Para calcular a massa, vamos usar a fórmula da integral de linha:
Aqui, representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva . Para encontrar , precisamos parametrizar a curva. Dada a equação da parábola, podemos expressar em função de :
A derivada de em relação a é:
Então, é dado por:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral para a massa:
Como a função é par, podemos simplificar calculando o dobro da integral de a :
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja:
Substituindo na integral:
Integrando:
Calculando numericamente:
Então:
Resposta
A massa do arame é aproximadamente unidades de massa.