(2.5 pontos) Uma aplicação da integral de linha consiste em considerar uma curva C como um fio delgado (ou seja, um fio de pouca espessura) de arame de densidade variável. Se a densidade de massa linear no ponto (x, y) é dada por de, então a massa do arame ao longo da curva é
m=integralC de
Usando as informações acima, resolva o seguinte problema. A forma de um arame delgado coincide com a parte da parábola y=4-x^2 entre (-2,0) e (2,0). Se a densidade de massa linear no ponto (x, y) é diretamente proporcional à distância do próprio ponto (x, y) ao eixo y, encontre a massa do arame.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um arame que segue a forma da parábola , indo do ponto até . A densidade de massa desse arame varia dependendo da distância de cada ponto ao eixo . Queremos descobrir qual é a massa total desse arame. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma todas as pequenas partes de massa ao longo do caminho do arame.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da parábola que o arame segue. A equação descreve uma parábola voltada para baixo, com o vértice no ponto e interceptando o eixo nesse ponto. O arame vai de a no eixo , ou seja, entre os pontos e .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a densidade de massa linear, de. A questão diz que a densidade é diretamente proporcional à distância do ponto de ao eixo . A distância de um ponto até o eixo é simplesmente o valor absoluto de , ou seja, . Então, podemos escrever:
Como a proporcionalidade não foi especificada, podemos assumir que para simplificar, ficando:

Passo 4

Para calcular a massa, vamos usar a fórmula da integral de linha:
m = integralC de
Aqui, y = 4 - x^2 representa um pequeno elemento de comprimento ao longo da curva dydx = -2x . Para encontrar ds = raiz1 + ( dydx )^2 , dx = raiz1 + ( -2x )^2 , dx = raiz1 + 4x^2 , dx , precisamos parametrizar a curva. Dada a equação da parábola, podemos expressar em função de :
A derivada de em relação a é:
Então, é dado por:

Passo 5

Agora, vamos montar a integral para a massa:
m = integral-2^2 |x| raiz1 + 4x^2 , dx
Como a função m = 2 integral0^2 x raiz1 + 4x^2 , dx é par, podemos simplificar calculando o dobro da integral de u = 1 + 4x^2 Rightarrow du = 8x , dx Rightarrow x , dx = du8 a m = 2 cdot 18 integral1^17 raizu , du = 14 integral1^17 u^1/2 , du :
14 cdot 23 u^3/2 |1^17 = 16 ( 17^3/2 - 1^3/2 ) = 16 ( 17 raiz17 - 1 )
Fazendo uma substituição para facilitar a integração, seja:
17 raiz17 approx 17 times 4,1231 approx 70,0927
Substituindo na integral:
m approx 16 (70,0927 - 1) approx 16 times 69,0927 approx 11,515
Integrando:
Calculando numericamente:
Então:

Resposta

A massa do arame é aproximadamente unidades de massa.

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