Para matriz dada determine todos os valores possíveis para o posto, de acordo com os valores do parâmetro k A=[cccc1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada que depende de um parâmetro . Nosso objetivo aqui é descobrir todos os possíveis valores para o posto (ou rank) dessa matriz, dependendo de qual valor assume. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações com linhas e determinantes, para simplificar a matriz e identificar quantas linhas são realmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 1 & 0 & 1 & k 0 & 1 & 0 & -1 :
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para encontrar seu posto. A gente vai usar operações elementares nas linhas para deixar a matriz em uma forma mais simples, conhecida como forma escalonada.

Passo 3

Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na posição (1,1)). Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Isso resulta em:
A = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & -2 & 1 & k-3 0 & 1 & 0 & -1

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos zerar os elementos abaixo do pivô da segunda coluna (que é o 1 na posição (2,2)). Para isso:
  • Adicionamos 2 vezes a segunda linha à terceira linha.
  • Subtraímos a segunda linha da quarta linha.
Fazendo isso:
Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 2 Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
Resultado:
A = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -1 & k+1 0 & 0 & 1 & -3

Passo 5

Agora, vamos olhar para a terceira coluna. Queremos zerar o elemento abaixo do pivô da terceira coluna (que pode ser -1 ou 1 dependendo de Linha 4 = Linha 4 + Linha 3 ). Para simplificar, vamos somar a terceira linha à quarta linha:
A = 1 & 2 & 0 & 3 0 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & -1 & k+1 0 & 0 & 0 & k-2
Isso resulta em:

Passo 6

Agora que a matriz está em forma escalonada, podemos determinar o posto observando quantas linhas não nulas existem. O posto será o número de pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha).
  • Se , a quarta linha não é zero, então temos 4 pivôs. Portanto, o posto é 4.
  • Se (ou seja, ), a quarta linha se torna toda zero. Nesse caso, temos 3 pivôs.

Resposta

Os valores possíveis para o posto da matriz são:
  • Posto 4 quando .
  • Posto 3 quando .

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