Para matriz dada determine todos os valores possíveis para o posto, de acordo com os valores do parâmetro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada que depende de um parâmetro . Nosso objetivo aqui é descobrir todos os possíveis valores para o posto (ou rank) dessa matriz, dependendo de qual valor assume. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como operações com linhas e determinantes, para simplificar a matriz e identificar quantas linhas são realmente independentes.
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para encontrar seu posto. A gente vai usar operações elementares nas linhas para deixar a matriz em uma forma mais simples, conhecida como forma escalonada.
Passo 3
Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na posição (1,1)). Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Agora, vamos olhar para a terceira coluna. Queremos zerar o elemento abaixo do pivô da terceira coluna (que pode ser -1 ou 1 dependendo de Linha 4 = Linha 4 + Linha 3 ). Para simplificar, vamos somar a terceira linha à quarta linha:
Agora que a matriz está em forma escalonada, podemos determinar o posto observando quantas linhas não nulas existem. O posto será o número de pivôs (os primeiros números diferentes de zero em cada linha).
Se , a quarta linha não é zero, então temos 4 pivôs. Portanto, o posto é 4.
Se (ou seja, ), a quarta linha se torna toda zero. Nesse caso, temos 3 pivôs.