Sejam a reta
determinada pelos pontos
e
, e o plano
definido por
.
Obtenha uma equação cartesiana do plano
que contém
e é ortogonal ao plano
;
Obtenha uma equação cartesiana do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta
definida pelos pontos
e
, e um plano
dado pela equação
. A missão aqui é encontrar a equação cartesiana de um novo plano
que contém a reta
e é ortogonal ao plano
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, planos e condições de ortogonalidade entre vetores normais dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta
. Como
passa pelos pontos
e
, podemos calcular esse vetor subtraindo as coordenadas de
e
:
Então, o vetor diretor da reta
é
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que cada plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular a ele. No plano
, a equação é
, então o vetor normal de
é
.
Como queremos que o plano
seja ortogonal a
, os vetores normais desses planos devem ser perpendiculares entre si. Isso significa que o produto escalar dos vetores normais deve ser zero.
Passo 4
Vamos chamar o vetor normal de
de
. Como
contém a reta
, seu vetor normal deve ser perpendicular ao vetor diretor de
, ou seja:
Além disso, como
é ortogonal a
, seus vetores normais também devem satisfazer:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
e
:
Substituindo na primeira equação:
Vamos escolher
(podemos escolher qualquer valor, pois estamos buscando uma equação de plano, que pode ser multiplicada por uma constante). Então,
e substituindo na expressão para
:
Portanto, o vetor normal de
é
.
Passo 6
Agora que temos o vetor normal de
, podemos usar a equação geral do plano:
Escolhemos um ponto da reta
para substituir
. Vamos usar o ponto
.
Substituindo os valores:
Podemos multiplicar todos os termos por
para simplificar:
Resposta
A equação cartesiana do plano
é: