Sejam a reta L determinada pelos pontos P=(1,0,0) e Q=(0,-1,-2), e o plano Pi definido por x-2 y-z+2=0.
Obtenha uma equação cartesiana do plano Pi1 que contém L e é ortogonal ao plano Pi;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta L definida pelos pontos P=(1,0,0) e Q=(0,-1,-2), e um plano Pi dado pela equação x - 2y - z + 2 = 0. A missão aqui é encontrar a equação cartesiana de um novo plano Pi1 que contém a reta L e é ortogonal ao plano Pi. Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, planos e condições de ortogonalidade entre vetores normais dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta L. Como L passa pelos pontos P e Q, podemos calcular esse vetor subtraindo as coordenadas de P e Q:
PQ = Q - P = (0-1,, -1-0,, -2-0) = (-1,, -1,, -2)
Então, o vetor diretor da reta L é v = (-1,, -1,, -2).

Passo 3

Agora, vamos lembrar que cada plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular a ele. No plano Pi, a equação é x - 2y - z + 2 = 0, então o vetor normal de Pi é nPi = (1,, -2,, -1).
Como queremos que o plano Pi1 seja ortogonal a Pi, os vetores normais desses planos devem ser perpendiculares entre si. Isso significa que o produto escalar dos vetores normais deve ser zero.

Passo 4

Vamos chamar o vetor normal de Pi1 de nPi1 = (a, b, c). Como Pi1 contém a reta L, seu vetor normal deve ser perpendicular ao vetor diretor de L, ou seja:
nPi1 cdot v = 0 implies a(-1) + b(-1) + c(-2) = 0 implies -a - b - 2c = 0
Além disso, como Pi1 é ortogonal a Pi, seus vetores normais também devem satisfazer:
nPi cdot nPi1 = 0 implies 1 cdot a + (-2) cdot b + (-1) cdot c = 0 implies a - 2b - c = 0

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
-a - b - 2c = 0 a - 2b - c = 0
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar a em termos de b e c:
a = 2b + c
Substituindo na primeira equação:
-(2b + c) - b - 2c = 0 -2b - c - b - 2c = 0 -3b - 3c = 0 b + c = 0 implies b = -c
Vamos escolher c = 1 (podemos escolher qualquer valor, pois estamos buscando uma equação de plano, que pode ser multiplicada por uma constante). Então, b = -1 e substituindo na expressão para a:
a = 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
Portanto, o vetor normal de Pi1 é nPi1 = (-1,, -1,, 1).

Passo 6

Agora que temos o vetor normal de Pi1, podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Escolhemos um ponto da reta L para substituir (x0, y0, z0). Vamos usar o ponto P=(1,0,0).
Substituindo os valores:
-1(x - 1) -1(y - 0) +1(z - 0) = 0 - x + 1 - y + z = 0 - x - y + z + 1 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para simplificar:
x + y - z - 1 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano Pi1 é:
x + y - z - 1 = 0

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