Seja . Dos conjuntos descritos abaixo, apenas um deles é uma base para . Qual deles?
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão apresenta várias opções de conjuntos de três vetores em (ou ) e pergunta qual desses conjuntos forma uma base para esse espaço. Uma base precisa ter três vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço. Para descobrir isso, vamos verificar a independência linear de cada conjunto.
Passo 2
Para cada conjunto de vetores, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 3
Vamos analisar a opção a):
Montando a matriz:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, esses vetores não são linearmente independentes. Então, a opção a) não é uma base.
Passo 4
Vamos para a opção b):
Montando a matriz:
Calculando o determinante:
Novamente, o determinante é zero, então esses vetores não são linearmente independentes. A opção b) também não é uma base.
Passo 5
Vamos para a opção c):
Montando a matriz:
Calculando o determinante:
Como , o determinante é . Portanto, esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para .