Seja a neq 0. Dos conjuntos descritos abaixo, apenas um deles é uma base para V^3. Qual deles?
a) (a, a, a),(0,0, a),(1,1,-6)
b) (0,1,0),(0, a, a),(0,0, 12)
c) (a, 0,1),(0,0, a),(a, a, a)
d) (1,1,1),(-1,-1, a),(1,1,0)
e) (1, a, 2),(1,0,0),(a, a^2, 2 a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão apresenta várias opções de conjuntos de três vetores em (ou ) e pergunta qual desses conjuntos forma uma base para esse espaço. Uma base precisa ter três vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço. Para descobrir isso, vamos verificar a independência linear de cada conjunto.

Passo 2

Para cada conjunto de vetores, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Passo 3

Vamos analisar a opção a):
a a a , 0 0 a , 1 1 -6
Montando a matriz:
a & 0 & 1 a & 0 & 1 a & a & -6
Calculando o determinante:
det = a cdot (0 cdot -6 - a cdot 1) - 0 cdot (a cdot -6 - a cdot 1) + 1 cdot (a cdot a - 0 cdot a) = a(-a) + 0 + a^2 = -a^2 + a^2 = 0
Como o determinante é zero, esses vetores não são linearmente independentes. Então, a opção a) não é uma base.

Passo 4

Vamos para a opção b):
0 1 0 , 0 a a , 0 0 12
Montando a matriz:
0 & 0 & 0 1 & a & 0 0 & a & 12
Calculando o determinante:
det = 0 cdot (a cdot 12 - a cdot 0) - 0 cdot (1 cdot 12 - 0 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot a - a cdot 0) = 0
Novamente, o determinante é zero, então esses vetores não são linearmente independentes. A opção b) também não é uma base.

Passo 5

Vamos para a opção c):
a 0 1 , 0 0 a , a a a
Montando a matriz:
a & 0 & a 0 & 0 & a 1 & a & a
Calculando o determinante:
det = a(0 cdot a - a cdot a) - 0(0 cdot a - 1 cdot a) + a(0 cdot a - 0 cdot 1) = a(0 - a^2) - 0 + a(0) = -a^3
Como , o determinante é . Portanto, esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para .

Resposta

A opção c) é o conjunto que forma uma base para .

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