Seja . Dos conjuntos descritos abaixo, apenas um deles é uma base para . Qual deles?
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão apresenta várias opções de conjuntos de três vetores em (ou ) e pergunta qual desses conjuntos forma uma base para esse espaço. Uma base precisa ter três vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o espaço. Para descobrir isso, vamos verificar a independência linear de cada conjunto.
Passo 2
Para cada conjunto de vetores, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Passo 3
Vamos analisar a opção a):
Montando a matriz:
a & 0 & 1 a & 0 & 1 a & a & -6
Calculando o determinante:
det = a cdot (0 cdot -6 - a cdot 1) - 0 cdot (a cdot -6 - a cdot 1) + 1 cdot (a cdot a - 0 cdot a) = a(-a) + 0 + a^2 = -a^2 + a^2 = 0
Como o determinante é zero, esses vetores não são linearmente independentes. Então, a opção a) não é uma base.
Passo 4
Vamos para a opção b):
0 1 0 , 0 a a , 0 0 12
Montando a matriz:
0 & 0 & 0 1 & a & 0 0 & a & 12
Calculando o determinante:
det = 0 cdot (a cdot 12 - a cdot 0) - 0 cdot (1 cdot 12 - 0 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot a - a cdot 0) = 0
Novamente, o determinante é zero, então esses vetores não são linearmente independentes. A opção b) também não é uma base.
Passo 5
Vamos para a opção c):
a 0 1 , 0 0 a , a a a
Montando a matriz:
a & 0 & a 0 & 0 & a 1 & a & a
Calculando o determinante:
det = a(0 cdot a - a cdot a) - 0(0 cdot a - 1 cdot a) + a(0 cdot a - 0 cdot 1) = a(0 - a^2) - 0 + a(0) = -a^3
Como , o determinante é . Portanto, esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para .