Seja o vetor v=(2,-1,1). Obter
a) um vetor ortogonal a v;
b) um vetor unitário ortogonal a v;
c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um vetor e precisamos encontrar:
a) Um vetor que seja ortogonal a .
b) Um vetor unitário que seja ortogonal a .
c) Um vetor com módulo 4 que seja ortogonal a .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores ortogonais e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal a u cdot v = 2a - b + c = 0 . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, para 2(1) - 0 + c = 0 Rightarrow 2 + c = 0 Rightarrow c = -2 ser ortogonal a , deve-se ter:
Vamos escolher valores para e e resolver para .
Por exemplo, se escolhermos e :
Então, um vetor ortogonal é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor unitário que seja ortogonal a |u| = raiz1^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz1 + 0 + 4 = raiz5 . Um vetor unitário tem módulo igual a 1. Já temos uunitário = ( 1raiz5, 0, -2raiz5 ) que é ortogonal a . Vamos normalizar esse vetor dividindo cada componente pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário á é:
á

Passo 4

Por fim, vamos encontrar um vetor com módulo 4 que seja ortogonal a umódulo 4 = 4 times uunitário = ( 4raiz5, 0, -8raiz5 ) . Podemos pegar o vetor unitário que encontramos e multiplicar por 4 para ajustar o módulo.
Usando á:
óá

Resposta

a) Um vetor ortogonal a é .
b) Um vetor unitário ortogonal a é .
c) Um vetor de módulo 4 ortogonal a é .

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