Determine o vértice C do triângulo equilátero A B C, sabendo que A=(x, 0) e B=(-x, 0), em que x>0.
(1.0
ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do vértice de um triângulo equilátero . Sabemos que os vértices e estão nas coordenadas e , onde . Vamos usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre triângulos equiláteros e coordenadas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um triângulo equilátero. É um triângulo onde todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos são iguais a . No nosso caso, os lados , e devem ter o mesmo comprimento.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e dAB = raiz(-x - x)^2 + (0 - 0)^2 = raiz(-2x)^2 = raiz4x^2 = 2x . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :
Então, o comprimento de é .

Passo 4

Como o triângulo é equilátero, os outros lados também devem ter comprimento . Então, vamos encontrar as coordenadas de , já que ele deve estar no eixo para formar simetria com e .

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância de dAC = raiz(0 - x)^2 + (y - 0)^2 = raizx^2 + y^2 a raizx^2 + y^2 = 2x :
x^2 + y^2 = 4x^2
Igualando ao comprimento de :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 6

Resolvendo para y^2 = 4x^2 - x^2 = 3x^2 :
y = raiz3x^2 = xraiz3
Então,
Como estamos considerando positivo (para que esteja acima do eixo ), temos .

Resposta

O vértice do triângulo equilátero está na coordenada .

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