Determine o vértice do triângulo equilátero , sabendo que e , em que .
ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as coordenadas do vértice de um triângulo equilátero . Sabemos que os vértices e estão nas coordenadas e , onde . Vamos usar conhecimentos de geometria, especificamente sobre triângulos equiláteros e coordenadas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um triângulo equilátero. É um triângulo onde todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos são iguais a . No nosso caso, os lados , e devem ter o mesmo comprimento.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre os pontos e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :
Então, o comprimento de é .
Passo 4
Como o triângulo é equilátero, os outros lados também devem ter comprimento . Então, vamos encontrar as coordenadas de , já que ele deve estar no eixo para formar simetria com e .
Passo 5
Agora, vamos calcular a distância de a :
Igualando ao comprimento de :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Resolvendo para :
Então,
Como estamos considerando positivo (para que esteja acima do eixo ), temos .
Resposta
O vértice do triângulo equilátero está na coordenada .