(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é , e (ii) para um lado direito geral ?
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares:
2 & 1 1 & 4 0 & 3
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas de equações lineares, especificamente sobre o número de soluções que um sistema pode ter. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como sistemas homogêneos (quando o lado direito é zero) e sistemas não homogêneos (quando o lado direito é qualquer vetor).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o caso quando o lado direito é o vetor zero, ou seja, 2x + y = 0 x + 4y = 0 0x + 3y = 0 . Isso é chamado de sistema homogêneo:
Nesse caso, sempre existe pelo menos uma solução, que é a solução trivial onde todas as variáveis são iguais a zero (). Mas pode haver mais soluções se as equações não forem independentes.
Passo 3
Vamos verificar se as equações são independentes. Olhando para a terceira equação:
3y = 0 Rightarrow y = 0
Substituindo 2x + 0 = 0 Rightarrow x = 0 na primeira equação:
Então, a única solução é a trivial (). Portanto, para o sistema homogêneo, há exatamente uma solução.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caso geral, onde o lado direito pode ser qualquer vetor 2x + y = b1 x + 4y = b2 3y = b3 . O sistema fica:
3y = b3 Rightarrow y = b33
Primeiro, resolvemos a terceira equação para x + 4(b33) = b2 Rightarrow x = b2 - 4b33 :
2(b2 - 4b33) + b33 = b1
Substituindo 2b2 - 8b33 + b33 = b1 Rightarrow 2b2 - 7b33 = b1 na segunda equação:
Agora, substituímos e na primeira equação para verificar consistência:
Simplificando:
Essa equação impõe uma condição para que o sistema tenha solução.
Passo 5
Conclusão:
Quando o lado direito é zero ():
O sistema tem exatamente uma solução (a trivial).
Para um lado direito geral ( quaisquer):
O sistema tem uma solução se e somente se .
Caso contrário, não há solução.
Resposta
(i) Para , o sistema tem exatamente uma solução.
(ii) Para qualquer , o sistema tem uma solução se . Caso contrário, não há solução.