Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base de definamos por .
Provar que A é uma matriz simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um espaço vetorial euclidiano e uma base desse espaço. A gente define uma matriz onde cada elemento é o produto interno entre e . Nosso objetivo aqui é provar que essa matriz é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa uma matriz ser simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Isso quer dizer que , ou seja, o elemento é igual a para todos os e .
Passo 3
Agora, vamos olhar para como foi definido no enunciado. A gente tem , que é o produto interno entre os vetores da base. O produto interno, de maneira simples, mede o “ângulo” e a “magnitude” entre dois vetores.
Passo 4
O legal do produto interno é que ele é simétrico por definição. Ou seja, para qualquer vetor e em , temos que .
Passo 5
Aplicando isso à nossa matriz , para qualquer e , temos:
E, pelo fato do produto interno ser simétrico:
Passo 6
Então, vimos que para todo e , . Isso significa exatamente que , ou seja, é igual à sua transposta.