Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base
de
definamos
por
.
Provar que A é uma matriz simétrica.
Provar que A é uma matriz simétrica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um espaço vetorial euclidiano
e uma base
desse espaço. A gente define uma matriz
onde cada elemento
é o produto interno entre
e
. Nosso objetivo aqui é provar que essa matriz
é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa uma matriz ser simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Isso quer dizer que
, ou seja, o elemento
é igual a
para todos os
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para como
foi definido no enunciado. A gente tem
, que é o produto interno entre os vetores da base. O produto interno, de maneira simples, mede o “ângulo” e a “magnitude” entre dois vetores.
Passo 4
O legal do produto interno é que ele é simétrico por definição. Ou seja, para qualquer vetor
e
em
, temos que
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa matriz
, para qualquer
e
, temos:
E, pelo fato do produto interno ser simétrico:
Passo 6
Então, vimos que para todo
e
,
. Isso significa exatamente que
, ou seja,
é igual à sua transposta.
Resposta
Portanto, a matriz
é simétrica.