Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dada uma base e1, ldots, en de V definamos A=(ai j) in Mn(R) por ai j=lang<= ei, ejrang<=(i, j=1, ldots, n).
Provar que A é uma matriz simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um espaço vetorial euclidiano e uma base desse espaço. A gente define uma matriz onde cada elemento é o produto interno entre e . Nosso objetivo aqui é provar que essa matriz é simétrica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e o que significa uma matriz ser simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Isso quer dizer que , ou seja, o elemento é igual a para todos os e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para como foi definido no enunciado. A gente tem , que é o produto interno entre os vetores da base. O produto interno, de maneira simples, mede o “ângulo” e a “magnitude” entre dois vetores.

Passo 4

O legal do produto interno é que ele é simétrico por definição. Ou seja, para qualquer vetor e em , temos que .

Passo 5

Aplicando isso à nossa matriz aij = lang<= ei, ej rang<= , para qualquer lang<= ei, ej rang<= = lang<= ej, ei rang<= = aji e , temos:
E, pelo fato do produto interno ser simétrico:

Passo 6

Então, vimos que para todo e , . Isso significa exatamente que , ou seja, é igual à sua transposta.

Resposta

Portanto, a matriz é simétrica.

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