Sejam alpha=(1,1),(0,2) e beta=(1,2),(2,1) bases de R^2.
Se v=(4,-1), encontre [v]beta usando a matriz mudança base.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos duas bases de alpha = (1,1), (0,2) e beta = (1,2), (2,1) :
O vetor está dado na base padrão. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas de na base , ou seja, , utilizando a matriz de mudança de base.

Passo 2

Para encontrar v = c1 cdot (1,2) + c2 cdot (2,1) , precisamos expressar (4, -1) = c1(1,2) + c2(2,1) como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares e tais que:
Isso significa:

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações com base nas componentes dos vetores:
1c1 + 2c2 = 4 2c1 + 1c2 = -1
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Multiplicando a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
2c1 + 4c2 = 8 2c1 + 1c2 = -1
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2c1 + 4c2) - (2c1 + 1c2) = 8 - (-1) 3c2 = 9 c2 = 3
Substituindo c1 + 2(3) = 4 c1 + 6 = 4 c1 = -2 na primeira equa�o original:

Passo 5

Agora que encontramos [v]beta = -2 3 e , podemos escrever as coordenadas de na base :

Resposta

[v]beta = -2 3

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