Determine os vértices e , o centro, os focos e a excentricidade de cada hipérbole a seguir. Faça o esboço de cada hipérbole. ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma hipérbole:
A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver esse tipo de problema, precisamos completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da hipérbole. Assim, vamos poder identificar os vértices, o centro, os focos e a excentricidade da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e os termos de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e para os termos de .

Passo 3

Começando com os termos de :
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -54, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 729:
Isso nos dá:
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de :
Primeiro, fatoramos o -4:
Dentro do parêntese, pegamos o coeficiente de , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na equação original:
Vamos simplificar os números:
Agora, isolamos os termos quadráticos:
Para facilitar, dividimos ambos os lados por 612:
Simplificando as frações:
Podemos ver que a hipérbole está na forma padrão:
Onde:
  • é o centro
  • é a distância do centro aos vértices
  • está relacionado à abertura da hipérbole

Passo 5

Identificando os componentes:
  • Centro:
Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Finalmente, a excentricidade é dada por:

Resposta

  • Vértices: e
  • Centro:
  • Focos: e
  • Excentricidade:

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Resolva os sistemas a seguir.
(1)
Faça o esboço do gráfico e escreva a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: O vértice e o foco ;
Identifique as quádricas representada por cada uma das equações a seguir. Construa o gráfico.
Uma florista oferece três tamanhos de arranjos de flores com rosas, margaridas e crisântemos. Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três crisântemos. Cada arranjo médio contém duas rosas, quatro margaridas e seis crisântemos. Cada arranjo grande contém quatro rosas, oito margaridas e seis crisântemos. No dia de ontem, a florista notou que havia usado um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 crisântemos ao preparar as encomendas destes três tipos de arranjos. Quantos arranjos de cada tipo ela fez?