Determine os vértices e , o centro, os focos e a excentricidade de cada hipérbole a seguir. Faça o esboço de cada hipérbole. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma hipérbole:
A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver esse tipo de problema, precisamos completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da hipérbole. Assim, vamos poder identificar os vértices, o centro, os focos e a excentricidade da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e os termos de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e para os termos de .
Passo 3
Começando com os termos de :
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -54, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 729:
Isso nos dá:
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de :
Primeiro, fatoramos o -4:
Dentro do parêntese, pegamos o coeficiente de , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na equação original:
Vamos simplificar os números:
Agora, isolamos os termos quadráticos:
Para facilitar, dividimos ambos os lados por 612:
Simplificando as frações:
Podemos ver que a hipérbole está na forma padrão:
Onde:
é o centro
é a distância do centro aos vértices
está relacionado à abertura da hipérbole
Passo 5
Identificando os componentes:
Centro:
Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo :