Determine os vértices
e
, o centro, os focos e a excentricidade de cada hipérbole a seguir. Faça o esboço de cada hipérbole.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma hipérbole:
A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver esse tipo de problema, precisamos completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da hipérbole. Assim, vamos poder identificar os vértices, o centro, os focos e a excentricidade da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e os termos de
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e para os termos de
.
Passo 3
Começando com os termos de
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -54, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 729:
Isso nos dá:
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
:
Primeiro, fatoramos o -4:
Dentro do parêntese, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na equação original:
Vamos simplificar os números:
Agora, isolamos os termos quadráticos:
Para facilitar, dividimos ambos os lados por 612:
Simplificando as frações:
Podemos ver que a hipérbole está na forma padrão:
Onde:
-
é o centro -
é a distância do centro aos vértices -
está relacionado à abertura da hipérbole
Passo 5
Identificando os componentes:
-
Centro:
-
-
Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo
:
Finalmente, a excentricidade
é dada por:
Resposta
- Vértices:
e - Centro:
- Focos:
e - Excentricidade: