Determine os vértices A1 e A2, o centro, os focos e a excentricidade de cada hipérbole a seguir. Faça o esboço de cada hipérbole. x^2-4 y^2-54 x+8 y+113=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma hipérbole:
x^2 - 4 y^2 -54 x + 8 y + 113 = 0
A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver esse tipo de problema, precisamos completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da hipérbole. Assim, vamos poder identificar os vértices, o centro, os focos e a excentricidade da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x^2 -54x -4y^2 +8y = -113 e os termos de :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e para os termos de .

Passo 3

Começando com os termos de x^2 -54x :
(-542)^2 = (-27)^2 = 729
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de x^2 -54x +729 -729 , que é -54, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(x -27)^2 -729
Então, adicionamos e subtraímos 729:
-4y^2 +8y
Isso nos dá:
-4(y^2 -2y)
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de (-22)^2 = (-1)^2 = 1 :
-4(y^2 -2y +1 -1)
Primeiro, fatoramos o -4:
-4(y -1)^2 +4
Dentro do parêntese, pegamos o coeficiente de , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parêntese:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na equação original:
(x -27)^2 -729 -4(y -1)^2 +4 = -113
Vamos simplificar os números:
(x -27)^2 -4(y -1)^2 -725 = -113
Agora, isolamos os termos quadráticos:
(x -27)^2 -4(y -1)^2 = -113 +725
(x -27)^2 -4(y -1)^2 = 612
Para facilitar, dividimos ambos os lados por 612:
(x -27)^2612 - (y -1)^2153 = 1
Simplificando as frações:
(x -27)^236 times 17 - (y -1)^29 times 17 = 1
Podemos ver que a hipérbole está na forma padrão:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • é o centro
  • é a distância do centro aos vértices
  • está relacionado à abertura da hipérbole

Passo 5

Identificando os componentes:
  • Centro: c = raiza^2 + b^2 = raiz612 + 153 = raiz765 approx 27.66
  • e = ca = 27.6624.74 approx 1.12
Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Então, os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo :
Finalmente, a excentricidade é dada por:

Resposta

  • Vértices: e
  • Centro:
  • Focos: e
  • Excentricidade:

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