Resolva os sistemas a seguir.
(1) -3 x1+x2+x3+x4=0 x1-3 x2+x3+x4 & =0 x1+x2-3 x3+x4 & =0 x1+x2+x3-3 x4 & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que tem quatro incógnitas: e . O conteúdo que vamos usar aqui é de álgebra linear, especificamente sistemas lineares. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar eliminação de variáveis, que é uma técnica para simplificar e encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
-3x1 + x2 + x3 + x4 = 0 (1) x1 - 3x2 + x3 + x4 = 0 (2) x1 + x2 - 3x3 + x4 = 0 (3) x1 + x2 + x3 - 3x4 = 0 (4)

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis. Observando as equações, parece conveniente eliminar x1 = 3x2 - x3 - x4 (5) . Para isso, vamos isolar na equação (2):

Passo 4

Agora, substituímos -3(3x2 - x3 - x4) + x2 + x3 + x4 = 0 da equação (5) nas equações (1), (3) e (4):
Substituindo na equação (1):
-9x2 + 3x3 + 3x4 + x2 + x3 + x4 = 0 -8x2 + 4x3 + 4x4 = 0 (6)
Simplificando:
(3x2 - x3 - x4) + x2 - 3x3 + x4 = 0
Substituindo na equação (3):
4x2 - 4x3 = 0 (7)
Simplificando:
(3x2 - x3 - x4) + x2 + x3 - 3x4 = 0
Substituindo na equação (4):
4x2 - 4x4 = 0 (8)
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos um sistema reduzido com três equações:
-8x2 + 4x3 + 4x4 = 0 (6) 4x2 - 4x3 = 0 (7) 4x2 - 4x4 = 0 (8)
Vamos simplificar as equações dividindo por 4:
-2x2 + x3 + x4 = 0 (6') x2 - x3 = 0 (7') x2 - x4 = 0 (8')

Passo 6

Da equação (7’), temos:
x2 = x3 (9)
Da equação (8’), temos:
x2 = x4 (10)
Isso significa que todas as três variáveis são iguais:
x2 = x3 = x4

Passo 7

Substituindo -2x2 + x2 + x2 = 0 -2x2 + 2x2 = 0 0 = 0 na equação (6’):
x1 = 3x2 - x3 - x4
Essa equação é sempre verdadeira e não nos dá novas informações, o que significa que x1 = 3x2 - x2 - x2 = x2 e podem ser quaisquer valores iguais. Agora, voltamos à equação (5):
Como , substituímos:

Passo 8

Portanto, todas as variáveis são iguais. Podemos chamar elas de x1 = x2 = x3 = x4 = k , onde é qualquer número real. Assim:

Resposta

A solução do sistema é , onde é qualquer número real.

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