Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço.
16 x^2-25 y^2=400

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as características das hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral da hipérbole com eixo principal no eixo (x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1 é:
16x^2400 - 25y^2400 = 1 implies x^225 - y^216 = 1
No nosso caso, a equação é . Vamos dividir ambos os lados por 400 para igualar a 1:
Agora, podemos identificar que e , então e .

Passo 3

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância (0 pm a, 0) implies (0 pm 5, 0) implies (5, 0) e (-5, 0) do centro ao longo do eixo principal. Como não há termos de e na nossa equação, o centro está na origem .
Então, os vértices serão:

Passo 4

Para encontrar os focos, usamos a relação c^2 = 25 + 16 = 41 implies c = raiz41 . Vamos calcular:
(0 pm c, 0) implies (raiz41, 0) e (-raiz41, 0)
Os focos também estão ao longo do eixo principal, então suas coordenadas são:

Passo 5

A excentricidade e = ca = raiz415 da hipérbole é dada por:
Isso nos indica o quão alongada é a hipérbole.

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole na forma padrão y = pm bax são dadas pelas equações:
y = pm 45x
Substituindo os valores de e :

Resposta

Os vértices da hipérbole são e , os focos estão em e , a excentricidade é e as assíntotas são as retas e . O esboço da hipérbole terá esses vértices e focos marcados, com as assíntotas passando pelo centro.

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