Determine os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas das hipérboles dadas a seguir. Faça-um esboço.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar os vértices, os focos, a excentricidade e as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as características das hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral da hipérbole com eixo principal no eixo
é:
No nosso caso, a equação é
. Vamos dividir ambos os lados por 400 para igualar a 1:
Agora, podemos identificar que
e
, então
e
.
Passo 3
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo principal. Como não há termos de
e
na nossa equação, o centro está na origem
.
Então, os vértices serão:
Passo 4
Para encontrar os focos, usamos a relação
. Vamos calcular:
Os focos também estão ao longo do eixo principal, então suas coordenadas são:
Passo 5
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Isso nos indica o quão alongada é a hipérbole.
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole na forma padrão
são dadas pelas equações:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
Os vértices da hipérbole são
e
, os focos estão em
e
, a excentricidade é
e as assíntotas são as retas
e
. O esboço da hipérbole terá esses vértices e focos marcados, com as assíntotas passando pelo centro.