A medida do ângulo entre os vetores u e v é pi6 e os módulos são 1 e 7 , respectivamente, calcule |u times v| e |(2 u) times(3 v)|.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, que formam um ângulo de pi6 entre si. Os módulos desses vetores são 1 e 7, respectivamente. Precisamos calcular a magnitude do produto vetorial |u times v| e também a magnitude de (2 u) times (3 v). Para resolver isso, vamos usar a fórmula do produto vetorial que relaciona o ângulo entre os vetores e seus módulos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para a magnitude do produto vetorial entre dois vetores:
|u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta)
Onde:
  • |u| é o módulo de u
  • |v| é o módulo de v
  • theta é o ângulo entre os vetores

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para calcular |u times v|. Sabemos que:
  • |u| = 1
  • |v| = 7
  • theta = pi6
Substituindo na fórmula:
|u times v| = 1 cdot 7 cdot sin(pi6)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o seno de pi6. Sabemos que:
sin(pi6) = 12
Então:
|u times v| = 1 cdot 7 cdot 12 = 72

Passo 5

Agora, vamos calcular |(2 u) times (3 v)|. Primeiro, vamos entender como escalar os vetores afeta o produto vetorial. Sabemos que:
(a u) times (b v) = a b (u times v)
Portanto, a magnitude será:
|(2 u) times (3 v)| = 2 cdot 3 cdot |u times v|

Passo 6

Já sabemos que |u times v| = 72. Então:
|(2 u) times (3 v)| = 6 cdot 72 = 21

Resposta

A magnitude do produto vetorial |u times v| é 72 e a magnitude de |(2 u) times (3 v)| é 21.

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