Determine os vétices C e D do paralelogramo A B C D, sabendo que A=(1,1), B=(3,2) e as diagonais A D e B C se cortam no ponto M=(4,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar os vértices e do paralelogramo . Sabemos os coordenadas de , e o ponto , que é onde as diagonais e se cruzam. Para resolver, vamos usar as propriedades dos paralelogramos e trabalhar com as coordenadas dos pontos.

Passo 2

Primeiro, lembremos que em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, se cruzam no ponto médio. Isso significa que o ponto é o ponto médio tanto de quanto de . Vamos usar essa informação para encontrar e .

Passo 3

Vamos começar encontrando o ponto M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) . Sabemos que (4,2) = ( 1 + xD2, 1 + yD2 ) é o ponto médio de 1 + xD2 = 4 e 1 + yD2 = 2 . A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:
Aqui, e . Vamos substituir na fórmula:
Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação para 1 + xD = 8 implies xD = 7 :
1 + yD = 4 implies yD = 3
E a segunda equação para :
Então, o ponto é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ponto (4,2) = ( 3 + xC2, 2 + yC2 ) . Sabemos que 3 + xC2 = 4 e 2 + yC2 = 2 também é o ponto médio de . Usando novamente a fórmula do ponto médio, temos:
Isso nos dá mais duas equações:

Passo 6

Resolvendo a primeira equação para 3 + xC = 8 implies xC = 5 :
2 + yC = 4 implies yC = 2
E a segunda equação para :
Então, o ponto é .

Resposta

Os vértices do paralelogramo são e .

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