Sejam alpha=(1,0),(0,2), beta=(-1,0),(1,1), gamma=(1,1),(-1,0) bases ordenadas de R^2. Determine:
(d) [I]alpha^gamma

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz da identidade . Estamos trabalhando com bases ordenadas no , então vamos usar conceitos de mudança de base e representação de transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada vetor da base na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz representa a transformação identidade, ou seja, ela transforma vetores da base para a base . Para encontrar essa matriz, precisamos descobrir como cada vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos escrever os vetores das bases:
alpha = (1,0), (0,2), gamma = (1,1), (-1,0)
Queremos encontrar os coeficientes (1,0) = a(1,1) + b(-1,0) e (0,2) = c(1,1) + d(-1,0) tais que:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
1 = a - b (componente x)
0 = a (componente y)
Da segunda equação, temos (1,0) = 0 cdot (1,1) -1 cdot (-1,0) = (1,0) . Substituindo na primeira, então .
Portanto,

Passo 5

Agora, resolvendo a segunda equação:
0 = c - d (componente x)
2 = c (componente y)
Da segunda equação, (0,2) = 2 cdot (1,1) + 2 cdot (-1,0) = (0,2) . Substituindo na primeira, então .
Portanto,

Passo 6

Agora que encontramos os coeficientes, podemos montar a matriz [I]alpha^gamma = 0 & 2 -1 & 2 colocando esses coeficientes como colunas:

Resposta

A matriz da identidade [I]alpha^gamma = 0 & 2 -1 & 2 é:

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