Sejam
bases ordenadas de
. Determine:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz da identidade
. Estamos trabalhando com bases ordenadas no
, então vamos usar conceitos de mudança de base e representação de transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada vetor da base
na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz
representa a transformação identidade, ou seja, ela transforma vetores da base
para a base
. Para encontrar essa matriz, precisamos descobrir como cada vetor da base
pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos escrever os vetores das bases:
Queremos encontrar os coeficientes
e
tais que:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação:
Da segunda equação, temos
. Substituindo na primeira,
então
.
Portanto,
Passo 5
Agora, resolvendo a segunda equação:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
então
.
Portanto,
Passo 6
Agora que encontramos os coeficientes, podemos montar a matriz
colocando esses coeficientes como colunas:
Resposta
A matriz da identidade
é: