Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz da identidade . Estamos trabalhando com bases ordenadas no , então vamos usar conceitos de mudança de base e representação de transformações lineares. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada vetor da base na base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz representa a transformação identidade, ou seja, ela transforma vetores da base para a base . Para encontrar essa matriz, precisamos descobrir como cada vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base .
Passo 3
Vamos escrever os vetores das bases:
Queremos encontrar os coeficientes e tais que:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação:
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira, então .
Portanto,
Passo 5
Agora, resolvendo a segunda equação:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, então .
Portanto,
Passo 6
Agora que encontramos os coeficientes, podemos montar a matriz colocando esses coeficientes como colunas: