Em t<0 o capacitor sem dielétrico está descarregado. Considere C=50 mu FeR=10 k Omega. (a) ( 3 pontos) Em t=0 a chave é fechada. Em que instante a diferença de potencial no capacitor é quatro vezes a diferença de potencial no resistor ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de um circuito RC (resistor e capacitor) e pede para descobrir em que momento a diferença de potencial no capacitor é quatro vezes a do resistor. Para isso, vamos precisar entender como funciona o carregamento de um capacitor em um circuito RC e usar algumas fórmulas básicas dessa teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a tensão no capacitor (V<sub>C</sub>) e no resistor (V<sub>R</sub>) variam com o tempo quando um circuito RC é fechado. Quando fechamos a chave no instante t = 0, o capacitor começa a carregar através do resistor. As fórmulas para as tensões são:
VC(t) = Vs (1 - e^-t/(RC))
VR(t) = Vs e^-t/(RC)
Onde:
  • V<sub>s</sub> é a tensão da fonte,
  • R é a resistência,
  • C é a capacitância,
  • t é o tempo,
  • e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

A questão quer saber quando V<sub>C</sub> = 4 V<sub>R</sub>. Vamos substituir as fórmulas:
Vs (1 - e^-t/(RC)) = 4 Vs e^-t/(RC)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por V<sub>s</sub>:
1 - e^-t/(RC) = 4 e^-t/(RC)

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para e^{-t/(RC)}:
1 = 5 e^-t/(RC)
e^-t/(RC) = 15

Passo 5

Para resolver para t, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
-t/(RC) = ln(15)
t = -RC cdot ln(15)
Como ln(1/5) = -ln(5), a equação fica:
t = RC cdot ln(5)

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores dados:
  • C = 50 μF = 50 \times 10^{-6} F
  • R = 10 kΩ = 10 \times 10^{3} Ω
  • \ln(5) \approx 1,6094
Calculando RC:
RC = 50 times 10^-6 F times 10 times 10^3 Ω = 0,5 , segundos
Então:
t = 0,5 times 1,6094 approx 0,8047 , segundos

Resposta

O instante em que a diferença de potencial no capacitor é quatro vezes a do resistor é aproximadamente 0,805 segundos.

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