Em
o capacitor sem dielétrico está descarregado. Considere
. (a) ( 3 pontos) Em
a chave é fechada. Em que instante a diferença de potencial no capacitor é quatro vezes a diferença de potencial no resistor ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de um circuito RC (resistor e capacitor) e pede para descobrir em que momento a diferença de potencial no capacitor é quatro vezes a do resistor. Para isso, vamos precisar entender como funciona o carregamento de um capacitor em um circuito RC e usar algumas fórmulas básicas dessa teoria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a tensão no capacitor (V<sub>C</sub>) e no resistor (V<sub>R</sub>) variam com o tempo quando um circuito RC é fechado. Quando fechamos a chave no instante t = 0, o capacitor começa a carregar através do resistor. As fórmulas para as tensões são:
Onde:
- V<sub>s</sub> é a tensão da fonte,
- R é a resistência,
- C é a capacitância,
- t é o tempo,
- e é a base do logaritmo natural.
Passo 3
A questão quer saber quando V<sub>C</sub> = 4 V<sub>R</sub>. Vamos substituir as fórmulas:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por V<sub>s</sub>:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para e^{-t/(RC)}:
Passo 5
Para resolver para t, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Como ln(1/5) = -ln(5), a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores dados:
- C = 50 μF = 50 \times 10^{-6} F
- R = 10 kΩ = 10 \times 10^{3} Ω
- \ln(5) \approx 1,6094
Calculando RC:
Então:
Resposta
O instante em que a diferença de potencial no capacitor é quatro vezes a do resistor é aproximadamente 0,805 segundos.