Determine o vetor de coordenadas [x]B de x em relação a base B=b1, b2, onde
b1=[c 1 -4 ], b2=[c 2 -3 ], x=[l -1 -6 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o vetor de coordenadas c 1 -4 do vetor c 2 -3 em relação à base c -1 -6 . A base x = c1 b1 + c2 b2 é formada pelos vetores e , que são e , respectivamente. Além disso, temos .
Vamos usar o conceito de combinação linear. Isso significa que vamos encontrar scalars (números) e tal que:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever essa combinação linear de forma mais detalhada. Substituindo os vetores, temos:
[c -1 -6 ] = c1 [c 1 -4 ] + c2 [c 2 -3 ]
Isso nos dá um sistema de equações:
-1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 2 -6 = c1 cdot (-4) + c2 cdot (-3)

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de c1 + 2c2 = -1 -4c1 - 3c2 = -6 e c1 = -1 - 2c2 . Podemos escrever o sistema assim:
Vamos usar o método da substituição. Da primeira equação, podemos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos -4(-1 - 2c2) - 3c2 = -6 na segunda equação:
4 + 8c2 - 3c2 = -6 4 + 5c2 = -6
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver para 5c2 = -6 - 4 5c2 = -10 c2 = -2 :

Passo 6

Com o valor de c1 = -1 - 2(-2) c1 = -1 + 4 c1 = 3 , voltamos para achar :

Resposta

O vetor de coordenadas [x]B = 3 -2 é:

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